Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0834] ens lyon MP 1997 Soient \(L\) et \(K\) deux corps commutatifs de caractéristique différente de \(2\).

1. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\in G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits G\leqslant 2^n\).

2. On suppose qu’il existe un homéomorphisme injectif de groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(L)\). Montrer que \(n\leqslant m\).

[concours/ex7783] ens paris MP 2008

1. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{R},{+})\).

2. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[concours/ex6967] ens paris 2004

1. Décrire les sous-groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) isomorphes à \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^p,{+}}\right)\) si \((n,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\).

2. Les groupes \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) et \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) sont-ils isomorphes ?

[planches/ex6422] polytechnique MP 2021

1. Soient \(G\) un groupe, \(\chi_1\), … , \(\chi_m\) des morphismes distincts de \(G\) dans \(\mathbf{C}^*\). Montrer que \((\chi_1,\ldots,\chi_m)\) est une famille libre de \(\mathbf{C}^G\).

2. Déterminer les morphismes de groupes continus de \(\mathbf{U}\) dans \(\mathbf{C}^*\).

[planches/ex1476] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Déterminer les endomorphismes continus du groupe \((\mathbf{C}^*,{\times})\).