[planches/ex4403] ens paris MP 2019 Soient \(G\) un groupe, \(\delta\in\mathbf{R}_+^*\), \(E_\delta\) l’ensemble des applications \(f\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)f(y)|\leqslant\delta\).
[planches/ex4403]
Montrer que, si \(f\in E_\delta\) n’est pas bornée, alors \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).
Trouver \(C>0\) tel que, pour toute \(f\in E_\delta\), on ait soit \(\forall x\in G\), \(|f(x)|\leqslant C\), soit \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).
[structures/ex0060] Soit \(\mathscr{C}\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\).
[structures/ex0060]
Trouver dans quels cas \(F\) est-elle un homomorphisme de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\), où \(F(f)\) est :
\(f(1)\).
\(|f(0)|\).
\(\displaystyle{\int\limits_0^1f(x)\,dx}\).
\(\displaystyle{ {\pi\over3}\int_0^1f(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\,dx}\).
\(\displaystyle{\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi f(x)\over6}\,dx}\).
\(\displaystyle{\int_0^1f\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\right)\,dx}\).
\(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(x)\,f(y)\,dy\,dx}\).
\(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(xy)\,dy\,dx}\).
\(\displaystyle{2\int\limits_0^1\int\limits_0^xf(y)\,dy\,dx}\).
\(\displaystyle{-f(0)+\int\limits_{-2}^0f(e^x)\,dx}\).
Pour chacun des \(7\) homomorphismes de la liste précédente, montrer que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), où \(\mathbf{c}\) est la fonction constante égale à \(c\), et qu’il existe un unique réel \(m\) tel que \(F(I_J-\mathbf{m})=0\). En déduire qu’il n’y a pas deux homomorphismes de la liste qui aient le même noyau.
Montrer que, si \(F\) est un homomorphisme quelconque de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\) tel que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), alors \(\mathscr{C}\) est la somme directe du noyau de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes. En déduire qu’il existe beaucoup de sous-groupes \(F\) de \(\mathscr{C}\) tels que \(\mathscr{C}\) soit la somme directe de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes.
[structures/ex0299] Vrai ou faux ?
[structures/ex0299]
Un endomorphisme de groupes est un automorphisme de groupes bijectif.
[oraux/ex6525] ens paris MP 2014 Soit \(\Gamma\) un graphe simple non orienté, c’est-à-dire un couple \((X,A)\) avec \(X\) un ensemble fini non vide, et \(A\) une partie de l’ensemble des paires d’éléments de \(X\). Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\Gamma\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) l’ensemble des permutations \(\sigma\) de \(X\) telles que \(\forall(x,y)\in X^2\), \(\sigma(x)\sim\sigma(y)\Longleftrightarrow x\sim y\).
[oraux/ex6525]
Montrer que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}(X)\).
Trouver \(\Gamma\) tel que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) soit isomorphe à \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\).
Soit \(G\) un groupe fini. Montrer qu’il existe un graphe simple non orienté \(\Gamma\) tel que \(G\) soit isomorphe à \(\hbox{Aut}(\Gamma)\).
Indication : introduire le graphe orienté dont l’ensemble des sommets est \(G\) et dans lequel, pour tout \((g,h)\in G^2\), il existe une arête de \(h\) à \(gh\) étiquetée par \(g\).
[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).
[complexes/ex0280]
Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).
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