Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7132] tpe MP 2005 Déterminer les morphismes de groupes dérivables de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[concours/ex9206] centrale MP 2006 Quelles sont les fonctions \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}\) qui sont continues, de période \(2\pi\) et vérifient \(f(x+y)=f(x)f(y)\) pour tous \(x\) et \(y\) réels ?

[oraux/ex4180] centrale MP 2011 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\) dans \(G\), on ait : \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien.

2. Montrer qu’il existe \(p\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que toutes les \(pgp^{-1}\), \(g\in G\) soient diagonales.

3. Montrer que \(G\) est fini, majorer son cardinal par une expression ne dépendant que de \(n\).

4. Montrer que si \(m\) est dans \(\mathbf{N}^*\) et \(m\neq n\), les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[oraux/ex6889] polytechnique MP 2013 Soit \(\mathbf{K}\) un corps de caractéristique différente de 2.

1. Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) tel que \(\forall M\in G\), \(M^2=I_n\). Montrer que \(G\) est abélien, fini et que \(|G|\leqslant 2^n\).

2. Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur \(m\) et \(n\) les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{K})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex3705] ens cachan M 1992

1. Soit \(K\) un corps commutatif de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\). Que dire du cardinal de \(G\) ?

2. Étudier l’existence d’isomorphismes entre les groupes suivants : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(K)\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{Q})\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\).