Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0301] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(x\) est élément de \(G\), on a : \([f(x)]^{-1}=f(x^{-1})\).

[oraux/ex6535] ens paris MP 2014 Soit \(r\geqslant 1\).

1. Construire un groupe \(\Gamma_r\) engendré par \(r\) éléments \(\gamma_1\), … , \(\gamma_r\) tel que, pour tout groupe \(G\) engendré par \(r\) éléments \(g_1\), … , \(g_r\), il existe un unique morphisme \(p\) surjectif de \(\Gamma_r\) dans \(G\) tel que \(p(\gamma_i)=g_i\) pour tout \(i\). On montrera qu’il est unique à isomorphisme près.

2. Pour \(K\) sous-groupe de \(\Gamma_r\), on note \([\Gamma_r:K]\) le cardinal de \(\Gamma_r/K=\{gK,\ g\in\Gamma_r\}\). Pour \(n\), \(r\geqslant 1\), déterminer le nombre de sous-groupes \(K\) de \(\Gamma_r\) tels que \([\Gamma_r:K]=n\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[oraux/ex6564] ens lyon MP 2016 On munit \(E=\mathbf{Z}^n\) de sa structure de groupe additif : \(a+b=(a_n+b_n)\) si \(a=(a_n)\) et \(b=(b_n)\). On note \(E^*\) l’ensemble des morphismes de groupes de \(E\) dans \(\mathbf{Z}\). On note \(e_k=(\delta_{k,n})_n\).

Montrer que si un élément \(f\) de \(E\) est nul en chaque \(e_k\), alors \(f\) est nulle.

Indication : on pourra considérer des suites du type \((p^na_n)\).

[structures/ex0299] Vrai ou faux ?

Un endomorphisme de groupes est un automorphisme de groupes bijectif.