[concours/ex6890] ens paris, ens lyon, ens cachan 2003 Trouver les groupes isomorphes parmi \((\mathbf{R},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{F}_3),{\mathbin{\circ}})\), \((\mathbf{Z}/6\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}/3\mathbf{Z},{+})\), \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})^*},{\times}\right)\), \((\mathscr{S}_3,{\mathbin{\circ}})\).
[concours/ex6890]
[planches/ex7512] ens saclay, ens rennes MP 2022 On fixe un corps \(\mathbf{K}\) et on pose \(H=\left\{\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&1},\ (a,b,c)\in\mathbf{K}^3\right\}\).
[planches/ex7512]
Montrer que \(H\) est un sous-espace affine de dimension 3 de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\).
Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{K})\), et en déterminer le centre (c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de \(H\)).
On note \(L=\left\{\pmatrix{0&a&b\cr0&0&c\cr0&0&0},\ (a,b,c)\in\mathbf{K}^3\right\}\).
On définit \(*\) par \(A*B=A+B+\displaystyle{1\over2}(AB-BA)\) pour \(A\) et \(B\) dans \(L\). Montrer que \((L,{*})\) est un groupe et que l’exponentielle définit un isomorphisme de groupes de \(L\) vers \(H\).
Calculer \(A^n\) pour \(A\in H\) et \(n\in\mathbf{N}\).
On prend \(\mathbf{K}=\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\). Montrer que \(H\) est isomorphe au groupe des isométries vectorielles de \(\mathbf{R}^2\) qui stabilisent le carré \(C:=\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\}\).
[planches/ex4403] ens paris MP 2019 Soient \(G\) un groupe, \(\delta\in\mathbf{R}_+^*\), \(E_\delta\) l’ensemble des applications \(f\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)f(y)|\leqslant\delta\).
[planches/ex4403]
Montrer que, si \(f\in E_\delta\) n’est pas bornée, alors \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).
Trouver \(C>0\) tel que, pour toute \(f\in E_\delta\), on ait soit \(\forall x\in G\), \(|f(x)|\leqslant C\), soit \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).
[fct.reelles/ex2090] Montrer que \(\mathbf{R}\), muni de la loi de composition \(*\) définie par : \[x*y=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2},\] est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).
[fct.reelles/ex2090]
[ensembles/ex0125] Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Z},+)\) dans \((\mathbf{R}^*,\times)\) ?
[ensembles/ex0125]
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