Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex1033] Soit \(F=\Bigl\{A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\mid\exists a\in\mathbf{R}^*\quad A=\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\Bigr\}\).

1. Montrer que \((F,{\times})\) est un groupe commutatif.

2. Montrer que \(\varphi:\mathbf{R}^*\rightarrow F\), \(a\mapsto\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\) est un isomorphisme de groupes.

[concours/ex6519] mines MP 2006 On note \(V\) l’ensemble des matrices à coefficients entiers ayant une forme du type \(\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{array}\right)\) et \(G\) l’ensemble des \(M\in V\) inversibles dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) et dont l’inverse est dans \(V\).

1. Quelle est la structure de \(G\) ?

2. Soit \(M\in V\). Montrer que \(M\in G\) si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\).

3. Donner un groupe standard isomorphe à \(G\) muni du produit.

[planches/ex4406] ens saclay, ens rennes MP 2019 Soient \(G\) un groupe fini, \(H\) et \(H'\) deux sous-groupes de \(G\). On dit que \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) lorsqu’il existe \(g\in G\) tel que \(H=gH'g^{-1}\).

1. Montrer que si \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) alors ils sont isomorphes.

2. Donner un contre-exemple à l’implication réciproque.

3. On suppose \(H\) isomorphe à \(H'\).

   1. Vérifier que \(\varphi:g\in G\longmapsto[h\longmapsto gh]\in\mathfrak{S}(G)\) est un morphisme injectif.

   2. Montrer que s’il existe \(\gamma\in\mathfrak{S}(G)\) tel que \(\varphi(H)=\gamma^{-1}\varphi(H')\gamma\) et \(\gamma(1_G)=1_G\), alors \(\gamma\) se restreint à un isomorphisme de \(H\) sur \(H'\).

   3. Montrer qu’il existe un entier \(r\geqslant 1\) et des éléments \(x_1\), … , \(x_r\), \(x'_1\), … , \(x'_r\) de \(G\) tels que \((Hx_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) et \((H'x'_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) partitionnent \(G\).

   4. En déduire que \(\varphi(H)\) et \(\varphi(H')\) sont conjugués dans \(\mathfrak{S}(G)\).

[complexes/ex0281] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q}_+^*,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Montrer que les groupes abéliens \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}\) et \((\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z})^\mathbf{N}\) sont isomorphes.

[oraux/ex3486] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011

1. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\). Quelle est sa structure algébrique ?

2. À quel groupe est-il isomorphe ?