Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex0104] Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des homothéties d’un espace vectoriel \(E\), de rapport non nul. Montrer que \(\mathscr{H}\), muni de la composition, est un sous-groupe du groupe des bijections de \(E\), isomorphe au groupe multiplicatif \(K^*\).

Indication : on prouvera que \(\lambda\mapsto\lambda\,\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est un morphisme de groupes.

[structures/ex0056] Construire un endomorphisme de \((\mathbf{Z}/4\mathbf{Z},{+})\) dont le noyau et l’image sont \(\{0,2\}\).

[structures/ex0734] Soit \(f:G\rightarrow H\) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que \(f{}^{-1}:H\rightarrow G\) est aussi un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif.

[planches/ex4618] polytechnique MP 2019

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\).

2. Soit \(P\) l’ensemble des \(z\in\mathbf{C}\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)>0\). Si \(M=\pmatrix{a&b\cr c&d}\) est dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et si \(z\) est dans \(P\), montrer que \(M.z=\displaystyle{az+b\over cz+d}\) est dans \(P\).

3. Montrer que, si \(M\) et \(M'\) sont dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et \(z\) dans \(P\), \(M'.(M.z)=M'M.z\).

4. Soient \(S=\pmatrix{0&-1\cr1&0}\) et \(T=\pmatrix{1&1\cr0&1}\), \(G\) le sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) engendré par \(S\) et \(T\). Montrer que, si \(z\in P\), il existe \(M\in G\) tel que, si \(z'=M.z\), on ait \(|z'|\geqslant 1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z')|\leqslant\displaystyle{1\over2}\).

[concours/ex6519] mines MP 2006 On note \(V\) l’ensemble des matrices à coefficients entiers ayant une forme du type \(\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{array}\right)\) et \(G\) l’ensemble des \(M\in V\) inversibles dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) et dont l’inverse est dans \(V\).

1. Quelle est la structure de \(G\) ?

2. Soit \(M\in V\). Montrer que \(M\in G\) si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\).

3. Donner un groupe standard isomorphe à \(G\) muni du produit.