Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0041] Si \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(F\), alors la fonction \[\Phi:u\mapsto f\circ u\circ f{}^{-1}\] est un isomorphisme de \(\mathfrak{S}_E\) dans \(\mathfrak{S}_F\).

[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).

[structures/ex0678] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe et : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&x^2\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme si et seulement si \(G\) est abélien.

[structures/ex0530] Soit \(E\) un ensemble, et \(*\) une opération dans \(E\). On définit \(\overline*\) par : \[\forall(x,y)\in E^2\qquad x\mathbin{\overline*}y=y*x.\]

1. Montrer que \((E,{\overline*})\) peut ne pas être isomorphe à \((E,{*})\).

2. Montrer que, si \((E,{*})\) est un groupe, alors \((E,{\overline*})\) est isomorphe à \((E,{*})\).

[planches/ex7511] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(n\) et \(m\) dans \(\mathbf{N}^*\). On munit \(\mathbf{C}\) de sa structure canonique d’espace euclidien.

1. Expliciter les \(\phi\) dans \(\mathscr{O}(\mathbf{C})\) tels que \(\phi(\mathscr{U}_n)=\mathscr{U}_n\). On note \(\mathbf{D}_{2n}\) l’ensemble ainsi formé. C’est un sous-groupe de \(\mathscr{O}(\mathbf{C})\).

2. Dénombrer les morphismes de groupes de \(\mathbf{D}_{2m}\) vers \(\mathbf{D}_{2n}\).

3. Montrer que tout automorphisme du groupe \(\mathfrak{S}_3\) est de la forme \(g\longmapsto aga^{-1}\) pour un \(a\in\mathfrak{S}_3\).