Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3477] ens paris MP 2011 Déterminer les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\).

[planches/ex3423] mines MP 2018 Soient \(m\), \(n\) deux entiers strictement positifs. Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\) dans \((\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},{+})\).

[ev.algebre/ex0109] Montrer que l’ensemble des homothéties de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{L} E\).

[ev.algebre/ex0104] Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des homothéties d’un espace vectoriel \(E\), de rapport non nul. Montrer que \(\mathscr{H}\), muni de la composition, est un sous-groupe du groupe des bijections de \(E\), isomorphe au groupe multiplicatif \(K^*\).

Indication : on prouvera que \(\lambda\mapsto\lambda\,\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est un morphisme de groupes.

[planches/ex6395] polytechnique MP 2021 Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}^*,{\times})\) ?

[concours/ex1382] centrale MP 1998 Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[structures/ex0603] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=2^x\).

4. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[complexes/ex0285] Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). En utilisant l’homomorphisme \(\mathbf{U}\rightarrow\mathbf{U}\), \(z\mapsto z^n\), démontrer que le groupe \(\mathbf{U}\) est isomorphe au groupe quotient \(\mathbf{U}/\mathbf{U}_n\).

[concours/ex2426] ens lyon M 1995 Soient \(n\) et \(m\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n|m\). Trouver une surjection naturelle de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\) vers \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\).

Indication : on pourra d’abord étudier le cas où \(m\) et \(n\) ont les mêmes diviseurs premiers.

[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).

[oraux/ex3481] ens paris MP 2011 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\), \(G_n=\left\{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lambda_iX^i,\ (\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1})\in\mathbf{C}^{n-1}\hbox{ et }\lambda_1\neq0\right\}\).

1. Si \(P\) et \(Q\) sont dans \(G_n\), montrer qu’il existe un unique \(R\) de \(G_n\) tel que \(R=P\mathbin{\circ} Q\bmod{X^n}\). On note \(R=P\star Q\).

2. Montrer que \((G_n,{\star})\) est un groupe.

3. Déterminer un morphisme surjectif de \(G_n\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[structures/ex0041] Si \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(F\), alors la fonction \[\Phi:u\mapsto f\circ u\circ f{}^{-1}\] est un isomorphisme de \(\mathfrak{S}_E\) dans \(\mathfrak{S}_F\).

[oraux/ex6540] centrale PC 2014 On munit \(\mathbf{R}^2\) de la loi \(*\) définie par \((x,y)*(a,b)=(x+a,y+b+xa)\).

1. Montrer que \((\mathbf{R}^2,{*})\) est un groupe.

2. Montrer que \(P=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2,\ y=x^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbf{R}^2,{*})\).

3. Montrer que \(\Phi:(\mathbf{R},{+})\rightarrow(P,{*})\) qui à \(x\) associe \((x,x^2)\) est un isomorphisme.

[oraux/ex6525] ens paris MP 2014 Soit \(\Gamma\) un graphe simple non orienté, c’est-à-dire un couple \((X,A)\) avec \(X\) un ensemble fini non vide, et \(A\) une partie de l’ensemble des paires d’éléments de \(X\). Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\Gamma\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) l’ensemble des permutations \(\sigma\) de \(X\) telles que \(\forall(x,y)\in X^2\), \(\sigma(x)\sim\sigma(y)\Longleftrightarrow x\sim y\).

1. Montrer que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}(X)\).

2. Trouver \(\Gamma\) tel que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) soit isomorphe à \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\).

3. Soit \(G\) un groupe fini. Montrer qu’il existe un graphe simple non orienté \(\Gamma\) tel que \(G\) soit isomorphe à \(\hbox{Aut}(\Gamma)\).

   Indication : introduire le graphe orienté dont l’ensemble des sommets est \(G\) et dans lequel, pour tout \((g,h)\in G^2\), il existe une arête de \(h\) à \(gh\) étiquetée par \(g\).

[oraux/ex6526] ens paris MP 2014 Soit \((T,A)\) un arbre, c’est-à-dire un graphe connexe sans cycle. Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(T\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(T)\) le groupe des permutations \(\sigma\) de \(T\) telles que \(\forall(x,y)\in T^2\), \(x\sim y\Longleftrightarrow\sigma(x)\sim\sigma(y)\).

Pour \((x,y)\in T^2\), on note \(d(x,y)\) la distance de \(x\) à \(y\) dans l’arbre \(T\), définie comme le plus petit entier \(n\) tels qu’il existe une suite \((x_0,\ldots,x_n)\) telle que \(x_0=x\), \(y=x_n\) et \(x_k\sim x_{k+1}\) pour tout \(k\in[[0,n-1]]\).

Soit \(\varphi:G\rightarrow\hbox{Aut}(T)\) un morphisme de groupes. On fixe un point \(s\in T\). On pose \(f:g\in G\mapsto d(s,\varphi(g)[s])\). Montrer que \(f\) vérifie les deux propriétés suivantes :

1. \(\forall g\in G\), \(f(g^{-1})=f(g)\) ;

2. \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\), \(\forall(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbf{C}^n\), \[\sum\limits_{k=1}^nz_k=0\Longrightarrow\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}z_i\overline{z_j}f(g_ig_j^{-1})\in\mathbf{R}_-.\]

Pour la seconde, on pourra introduire l’espace hermitien \(\mathscr{F}(A,\mathbf{C})\) et la fonction \(\psi\) qui à tout élément de \(G\) associe l’indicatrice de l’ensemble des arêtes figurant dans le chemin minimal joignant \(s\) à \(f(g)[s]\).

[planches/ex7513] ens lyon MP 2022 On prend pour \(\mathbf{K}\) l’un des corps \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\).

1. Déterminer les éléments de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) qui commutent avec tous les autres.

2. Étant donné \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(\mathbf{P}^n(\mathbf{K})\) l’ensemble quotient de \(\mathbf{K}^{n+1}\setminus\{0\}\) pour la relation de colinéarité entre vecteurs. On choisit un élément \(\infty\) hors de \(\mathbf{K}\). Montrer que l’on définit une bijection de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) sur \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) en associant à la classe de \((a,b)\) le nombre \(\displaystyle{a\over b}\) si \(b\neq0\), et \(\infty\) si \(b=0\).

3. On note \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) le quotient de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) par la relation d’équivalence définie comme suit : \(P\sim Q\Longleftrightarrow\exists\alpha\in\mathbf{K}^*\ :\ P=\alpha Q\). Montrer qu’il existe une unique structure de groupe sur \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) faisant de la projection canonique \(P\longmapsto[P]\) un morphisme de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) dans \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\). On munit \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) de cette structure de groupe dans toute la suite de l’énoncé.

4. Montrer que, pour \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) et \(X\in\mathbf{K}^n\), la classe de colinéarité du vecteur \(PX\) ne dépend que de la classe de \(P\) modulo \(\sim\) et de la classe de colinéarité de \(X\). On obtient ainsi une fonction \(\rho:\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\times\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\longrightarrow\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\) envoyant systématiquement le couple \(([P],[X])\) sur \([PX]\). On notera \(g.x:=\rho(g,x)\) pour \(g\in\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) et \(x\in\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\).

5. Soit \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) représenté par la matrice \(\pmatrix{a&b\cr c&d}\). Montrer que, via l’identification de la question 2 entre \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) et \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), l’application \(x\longmapsto g.x\) s’identifie à l’homographie \(\rho_g:z\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\longmapsto\displaystyle{az+b\over cz+d}\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), en convenant que \(\displaystyle{az+b\over cz+d}=\infty\) si \(z\in\mathbf{K}\) et \(cz+d=0\), \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}={a\over c}\) si \(c\in\mathbf{K}^*\), et \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}=\infty\) si \(c=0\).

6. Soit \(a\), \(b\), \(c\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), et \(a'\), \(b'\), \(c'\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\). Montrer qu’il existe \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) tel que \((a',b',c')=(g.a,g.b,g.c)\).

7. Pour \(x\in\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), on note \(S_x:=\{g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\ :\ g.x=x\}\). Expliciter \(S_0\), \(S_\infty\), \(S_0\cap S_\infty\) et \(S_0\cap S_\infty\cap S_1\) (avec l’identification précédente entre \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) et \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\)).

8. Montrer que, dans le groupe \(\hbox{PGL}_2(\mathbf{C})\), tout élément d’ordre 2 est conjugué à l’élément dont l’homographie associée est \(z\longmapsto-z\).

[planches/ex4406] ens saclay, ens rennes MP 2019 Soient \(G\) un groupe fini, \(H\) et \(H'\) deux sous-groupes de \(G\). On dit que \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) lorsqu’il existe \(g\in G\) tel que \(H=gH'g^{-1}\).

1. Montrer que si \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) alors ils sont isomorphes.

2. Donner un contre-exemple à l’implication réciproque.

3. On suppose \(H\) isomorphe à \(H'\).

   1. Vérifier que \(\varphi:g\in G\longmapsto[h\longmapsto gh]\in\mathfrak{S}(G)\) est un morphisme injectif.

   2. Montrer que s’il existe \(\gamma\in\mathfrak{S}(G)\) tel que \(\varphi(H)=\gamma^{-1}\varphi(H')\gamma\) et \(\gamma(1_G)=1_G\), alors \(\gamma\) se restreint à un isomorphisme de \(H\) sur \(H'\).

   3. Montrer qu’il existe un entier \(r\geqslant 1\) et des éléments \(x_1\), … , \(x_r\), \(x'_1\), … , \(x'_r\) de \(G\) tels que \((Hx_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) et \((H'x'_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) partitionnent \(G\).

   4. En déduire que \(\varphi(H)\) et \(\varphi(H')\) sont conjugués dans \(\mathfrak{S}(G)\).

[planches/ex9408] polytechnique MP 2023

1. Soit \(s:\mathbf{R}^*\to\mathbf{R}^*\), \(t\mapsto t^{-1}\). Déterminer le groupe engendré par \(s\).

2. On définit les applications \(s_1:(t,u)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\) et ??

   Montrer que le sous-groupe qu’elles engendrent est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).

3. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient \(A\) de \((\mathbf{R}^*)^3\) par la relation de colinéarité, la bijection \(f:A\rightarrow(\mathbf{R}^*)^2\) qui associe à la classe de \((x_1,x_2,x_3)\) le couple \((x_1/x_2,x_2/x_3)\), et enfin les permutations de \(A\) induites par \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)\) et \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)\).

4. Soit \(n\geqslant 3\). Déterminer le groupe engendré par les bijections \((s_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) de \((\mathbf{R}^*)^n\) définies par \(s_i(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i\times t_{i+1},t_{i+2},\ldots,t_n)\) si \(1<i<n\), \(s_1(t_1,\ldots,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,\ldots,t_n)\) et \(s_n(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})\).

   Indication : Considérer \(f:(\mathbf{R}^*)^{n+1}\to(\mathbf{R}^*)^n\) définie par \(f(t_1,\ldots,t_{n+1})=\displaystyle\left(\frac{t_2}{t_1},\ldots,\frac{t_{n+1}}{t_n}\right)\) et chercher des bijections simples \(s_i'\) de \((\mathbf{R}^*)^{n+1}\) telles que \(s_i\mathbin{\circ} f=f\mathbin{\circ} s_i'\).