Édition de feuilles d'exercices

[complexes/ex0279] Caractères d’un groupe

Pour chaque groupe \(G\), on munit l’ensemble \(\widehat G=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(G,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \(G\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat G\) et \(g\in\widehat G\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in G\)). Le groupe \(\widehat G\) est appelé groupe des caractères de \(G\).

1. Si \(G\) est cyclique, démontrer que \(\widehat G\) est cyclique et de même cardinal.

2. On suppose \(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_p\) où \(G_k\) est cyclique, de cardinal \(n_k\). Démontrer que \(\widehat G\) est isomorphe à \(\widehat G_1\times\widehat G_2\times\cdots\times\widehat G_p\) et en déduire que \(G\) est isomorphe à \(\widehat G\).

3. Trouver \(\widehat G\) lorsque \(G\) est l’un des groupes suivants :

   1. le groupe du carré ;

   2. le groupe quaternionique ;

   3. le groupe \(\mathfrak{U}_4\) ;

   4. le groupe diédral \(D_n\).

[oraux/ex6524] ens paris MP 2014 Que dire d’un groupe \(G\) dont le groupe des automorphismes est trivial ?

[structures/ex0676] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe. On considère l’application : \[f_a\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\cdot x\cdot a^{-1}\end{array}\right.\qquad\hbox{($a\in G$, fixé).}\]

1. Montrer que \(f_a\) est un automorphisme de \(G\).

2. On note : \(I=\{f_a\mid a\in G\}\).

   Montrer que \((I,{\mathbin{\circ}})\) est un groupe où \(\mathbin{\circ}\) est la loi de composition des applications de \(G\) dans \(G\).

3. Soit : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&I\\a&\longmapsto&f_a.\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme de \((G,\,{\cdot}\,)\) dans \((I,{\mathbin{\circ}})\).

[structures/ex0355] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe ; pour tout \(a\in G\), on note \(\tau_a:G\rightarrow G\) l’application définie par : \[\tau_a(x)=axa^{-1}.\]

1. Vérifier que \(\tau_a\) est un automorphisme de \(G\) (appelé automorphisme intérieur associé à \(a\)).

2. Vérifier : \(\forall(a,b)\in G^2\quad\tau_a\mathbin{\circ}\tau_b=\tau_{ab}\).

[concours/ex7282] centrale PC 2009 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Montrer que \(G\) est commutatif si et seulement si \(\varphi:g\in G\mapsto g^{-1}\) est un morphisme de groupes.

[structures/ex0046] Montrer que l’application \(x\mapsto x^{-1}\) est un endomorphisme du groupe \(G\) si et seulement si ce dernier est abélien, et que dans ce cas les applications \(x\mapsto x^k\), où \(k\in\mathbf{Z}\), sont toutes des endomorphismes.

[planches/ex3155] polytechnique MP 2018 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe commutatif fini de cardinal \(N\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Montrer que \(\widehat G\) est fini et que \((\widehat G,{\times})\) est un groupe, où \(\times\) désigne la multiplication entre fonctions de \(G\) dans \(\mathbf{C}\). On note \(N'\) le cardinal de \(\widehat G\).

2. Soit \(\varphi:(u,v)\in\mathbf{C}^N\times\mathbf{C}^N\mapsto\displaystyle\sum\limits_{j=1}^N\overline{u_j}v_j\). Montrer que si \((u^1,u^2,\ldots,u^p)\in(\mathbf{C}^N)^p\) vérifie : \(k\neq\ell\Longleftrightarrow\varphi(u^k,u^\ell)=0\) alors \((u^1,\ldots,u^p)\) est libre.

3. Construire une surjection de \(G\) dans \(\widehat{\widehat G}\) et en déduire que \(N=N'\).

[oraux/ex4145] centrale MP 2011 Soit \(G\) un groupe abélien fini. On appelle caractère de \(G\) tout morphisme de groupe \(\chi:G\rightarrow\mathbf{C}^*\). On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des applications de \(G\) dans \(\mathbf{C}\).

1. Soit \(\chi\) un caractère de \(G\). Montrer : \(\forall g\in G\), \(|\chi(g)|=1\).

2. Si \((f,h)\in E^2\), on pose \(\langle f,h\rangle=\displaystyle{1\over|G|}\sum\limits_{g\in G}\overline{f(g)}h(g)\). Vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire.

3. Montrer que, pour tous caractères \(\chi\) et \(\theta\) de \(G\) et tout \(g\in G\), on a \(\langle\chi,\theta\rangle=\overline{\chi(g)}\theta(g)\langle\chi, \theta\rangle\).

4. Montrer que la famille des caractères de \(G\) est orthonormale.

5. Soit \(\widehat G\) l’ensemble des caractères de \(G\). On admet \(|G|=|\widehat G|\). Montrer que les caractères de \(G\) forment une base de \(E\).

[planches/ex4617] polytechnique MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe abélien fini de cardinal \(n\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe pour la multiplication ordinaire des fonctions.

2. Montrer que, si \(\chi\in\widehat G\) n’est pas le morphisme trivial, \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\chi(g)=0\).

3. Si \(\chi\) et \(\chi'\) sont deux éléments distincts de \(\widehat G\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi(g)}\chi'(g)=0\).

4. Montrer que \(|\widehat G|\leqslant n\).

5. Si \(x\in G\), soit \(\delta_x\) l’élément de \(\widehat{\widehat G}\) défini par \(\forall\chi\in\widehat G\), \(\delta_x(\chi)=\chi(x)\). Montrer que \(x\longmapsto\delta x\) est un isomorphisme de \(G\) sur \(\widehat{\widehat G}\).

6. Quel est le cardinal de \(\widehat G\) ?

[planches/ex6625] mines MP 2021 Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex7569] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2005 Trouver tous les endomorphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\), où \(\mathbf{U}\) est le groupe des complexes de module 1.

[concours/ex7256] polytechnique, espci PC 2009

1. Quels sont les sous-groupes de \(\mathbf{Z}\) ?

2. Quels sont les automorphismes de \((\mathbf{Z},{+})\) ?

[structures/ex0675] Soit \(f\) un morphisme du groupe \((G,{*})\) dans le groupe \((H,{\top})\). On note \(e\) l’élément neutre de \(G\) et \(e'\) celui de \(H\).

1. Montrer que : \[f(e)=e'.\]

2. Montrer que \(f\) est injectif si, et seulement si : \[f^{-1}(\{e'\})=\{e\}.\]

[structures/ex0056] Construire un endomorphisme de \((\mathbf{Z}/4\mathbf{Z},{+})\) dont le noyau et l’image sont \(\{0,2\}\).

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[planches/ex7099] centrale MP 2021 Soit \(G\) un groupe. On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \(G\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Rappeler les définitions d’un groupe et d’un morphisme de groupes. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe.

2. Déterminer \(\widehat G\) dans le cas où \(G=\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

[planches/ex6395] polytechnique MP 2021 Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}^*,{\times})\) ?

[ev.algebre/ex0104] Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des homothéties d’un espace vectoriel \(E\), de rapport non nul. Montrer que \(\mathscr{H}\), muni de la composition, est un sous-groupe du groupe des bijections de \(E\), isomorphe au groupe multiplicatif \(K^*\).

Indication : on prouvera que \(\lambda\mapsto\lambda\,\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est un morphisme de groupes.

[oraux/ex6505] polytechnique, espci PC 2013 Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.