Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4404] ens paris MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Si \(f\) est une fonction de \(G\) dans \(\mathbf{R}\), on dit que \(f\) est un quasi-morphisme s’il existe \(C>0\) tel que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)-f(y)|\leqslant C\) et que \(f\) est un quasi-caractère si \(\forall(n,x)\in\mathbf{Z}\times G\), \(f(x^n)=nf(x)\). Montrer que, pour tout quasi-morphisme \(M\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\), il existe un unique quasi-morphisme qui est aussi un quasi-caractère \(Q\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) tel que \(M-Q\) soit bornée.

[planches/ex7960] mines MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) inversibles dont l’inverse est aussi à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est un groupe.

2. Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) d’ordre fini. On suppose qu’il existe \(p\geqslant 3\) premier et \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) tels que \(A=I_n+pM\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A=\{1\}\). Que conclure ?

[planches/ex1432] ens lyon MP 2017 Soient \(p>3\) un nombre premier et \(\varphi:\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\rightarrow\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})\) la réduction canonique modulo \(p\). Soit \(G\) un sous groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(\varphi_{|G}\) est injective.

[planches/ex6447] polytechnique MP 2021

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).

[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).

1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).

   On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.

3. Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).

[concours/ex7334] polytechnique, espci PC 2010

1. Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

2. Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{R}^*,{\times})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex7257] polytechnique, espci PC 2009

1. Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{R}^*,{\times})\) sont-ils isomorphes ?

2. Un groupe peut-il être isomorphe à l’un de ses sous-groupes stricts ?

3. Un espace vectoriel peut-il être isomorphe à l’un de ses sous-espaces vectoriels stricts ?

[ensembles/ex0056] Montrer que \((\mathbf{C}^*,{\times})\) n’est pas isomorphe à \((\mathbf{R}^*,{\times})\), ni à \((\mathbf{C},{+})\), ni à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0533] Le groupe \((\mathbf{R},{+})\) est-il isomorphe à \((\mathbf{R}^*,{\times})\) ?

[concours/ex7255] polytechnique, espci PC 2009

1. Montrer que \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^3,{+})\) ne sont pas isomorphes.

2. Soit \(U=\{z\in\mathbf{C},\ |z|=1\}\). Montrer que les groupes \((U,{\times})\) et \((\mathbf{R},{+})\) ne sont pas isomorphes.

3. Montrer que les groupes \((\mathbf{Q},{+})\) et \((\mathbf{R},{+})\) ne sont pas isomorphes.

[concours/ex6962] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Parmi les groupes additifs \(\mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}^2\), \(\mathbf{Q}\), \(\mathbf{R}\), en est-il d’isomorphes ?

[structures/ex0022] Dans \(\mathbf{R}\) on définit la loi de composition interne : \[x\top y=\sqrt[3]{x^3+y^3}.\] Montrer que \((\mathbf{R},{\top})\) est un groupe abélien isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0398] Soient \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\), et \(*\) la loi de composition interne définie dans \(\mathbf{R}\) par \(x*y=\sqrt[n]{x^n+y^n}\). En utilisant l’application \(x\mapsto\sqrt[n]x\), montrer que \((\mathbf{R},{*})\) est un groupe, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0669] Montrer que \(*\) est une loi interne sur \(\mathbf{R}\) et donner ses propriétés : \[a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3}.\]

[concours/ex7234] ens paris MP 2009 Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes : \((\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) ?

[concours/ex6961] ens paris 2004

1. Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbf{Z}^n,{+})\) avec \(n\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(m\in\{0,\ldots,n\}\) tel que \(G\) soit isomorphe à \((\mathbf{Z}^m,{+})\).

2. A quelle condition \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^p,{+})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex6208] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006

1. Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^2,{+})\) sont-ils isomorphes ?

2. Pour quels \((m,n)\in\mathbf{N}^*\) les groupes \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^m,{+})\) sont-ils isomorphes ?

[oraux/ex6497] ens paris MP 2013 Pour \(p\) premier, on note \(\mathscr{Z}_p=\left\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists k\in\mathbf{N}^*,\ z^{p^k}=1\right\}\).

1. Montrer que \((\mathscr{Z}_p,{\times})\) est un groupe.

2. Déterminer les sous-groupes de \(\mathscr{Z}_p\). Parmi les sous-groupes non triviaux de \(\mathscr{Z}_p\), y en a-t-il un maximal ?

3. Soit \(\varphi:\mathscr{Z}_p\rightarrow G\) un morphisme surjectif, où \(G\) est un groupe arbitraire. Montrer que \(G\) est trivial ou isomorphe à \(\mathscr{Z}_p\).

4. Montrer que la réunion, pour \(p\) premier, des \(\mathscr{Z}_p\) engendre le groupe \(\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists n\in\mathbf{N}^*,\ z^n=1\}\).

[structures/ex0677] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe et : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&x^{-1}\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme si et seulement si \(G\) est abélien.

[structures/ex0676] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe. On considère l’application : \[f_a\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\cdot x\cdot a^{-1}\end{array}\right.\qquad\hbox{($a\in G$, fixé).}\]

1. Montrer que \(f_a\) est un automorphisme de \(G\).

2. On note : \(I=\{f_a\mid a\in G\}\).

   Montrer que \((I,{\mathbin{\circ}})\) est un groupe où \(\mathbin{\circ}\) est la loi de composition des applications de \(G\) dans \(G\).

3. Soit : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&I\\a&\longmapsto&f_a.\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme de \((G,\,{\cdot}\,)\) dans \((I,{\mathbin{\circ}})\).