Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0397] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe.

1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de \(G\), muni de la loi \(\mathbin{\circ}\), est un groupe, noté \(\hbox{aut}(G)\).

2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\hbox{aut}(G)\), et : \[\begin{array}{rcl} \varphi:G&\longrightarrow&\mathfrak{P}(G)\\ x&\longmapsto&\{f(x)\mid f\in H\}\ ;\end{array}\] \(\varphi(x)\) est appelé l’orbite de \(x\) sous \(H\). Vérifier que \(\varphi(G)\) est une partition de \(G\).

[concours/ex7081] mines PSI 2005 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe et \(f\) un endomorphisme de \(G\) tel que : \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(x^2y^3)=x^3y^2\). Montrer que \(G\) est commutatif.

[complexes/ex0281] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q}_+^*,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Montrer que les groupes abéliens \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}\) et \((\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z})^\mathbf{N}\) sont isomorphes.

[planches/ex9408] polytechnique MP 2023

1. Soit \(s:\mathbf{R}^*\to\mathbf{R}^*\), \(t\mapsto t^{-1}\). Déterminer le groupe engendré par \(s\).

2. On définit les applications \(s_1:(t,u)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\) et ??

   Montrer que le sous-groupe qu’elles engendrent est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).

3. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient \(A\) de \((\mathbf{R}^*)^3\) par la relation de colinéarité, la bijection \(f:A\rightarrow(\mathbf{R}^*)^2\) qui associe à la classe de \((x_1,x_2,x_3)\) le couple \((x_1/x_2,x_2/x_3)\), et enfin les permutations de \(A\) induites par \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)\) et \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)\).

4. Soit \(n\geqslant 3\). Déterminer le groupe engendré par les bijections \((s_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) de \((\mathbf{R}^*)^n\) définies par \(s_i(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i\times t_{i+1},t_{i+2},\ldots,t_n)\) si \(1<i<n\), \(s_1(t_1,\ldots,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,\ldots,t_n)\) et \(s_n(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})\).

   Indication : Considérer \(f:(\mathbf{R}^*)^{n+1}\to(\mathbf{R}^*)^n\) définie par \(f(t_1,\ldots,t_{n+1})=\displaystyle\left(\frac{t_2}{t_1},\ldots,\frac{t_{n+1}}{t_n}\right)\) et chercher des bijections simples \(s_i'\) de \((\mathbf{R}^*)^{n+1}\) telles que \(s_i\mathbin{\circ} f=f\mathbin{\circ} s_i'\).

[structures/ex0050] Écrire la table de multiplication du groupe des (\(10\)) symétries d’un pentagone régulier. Construire un isomorphisme de ce groupe dans un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_5\).

[planches/ex4403] ens paris MP 2019 Soient \(G\) un groupe, \(\delta\in\mathbf{R}_+^*\), \(E_\delta\) l’ensemble des applications \(f\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)f(y)|\leqslant\delta\).

1. Montrer que, si \(f\in E_\delta\) n’est pas bornée, alors \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

2. Trouver \(C>0\) tel que, pour toute \(f\in E_\delta\), on ait soit \(\forall x\in G\), \(|f(x)|\leqslant C\), soit \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[complexes/ex0285] Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). En utilisant l’homomorphisme \(\mathbf{U}\rightarrow\mathbf{U}\), \(z\mapsto z^n\), démontrer que le groupe \(\mathbf{U}\) est isomorphe au groupe quotient \(\mathbf{U}/\mathbf{U}_n\).

[structures/ex0060] Soit \(\mathscr{C}\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\).

1. Trouver dans quels cas \(F\) est-elle un homomorphisme de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\), où \(F(f)\) est :

   1. \(f(1)\).

   2. \(|f(0)|\).

   3. \(\displaystyle{\int\limits_0^1f(x)\,dx}\).

   4. \(\displaystyle{ {\pi\over3}\int_0^1f(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\,dx}\).

   5. \(\displaystyle{\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi f(x)\over6}\,dx}\).

   6. \(\displaystyle{\int_0^1f\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\right)\,dx}\).

   7. \(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(x)\,f(y)\,dy\,dx}\).

   8. \(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(xy)\,dy\,dx}\).

   9. \(\displaystyle{2\int\limits_0^1\int\limits_0^xf(y)\,dy\,dx}\).

   10. \(\displaystyle{-f(0)+\int\limits_{-2}^0f(e^x)\,dx}\).

2. Pour chacun des \(7\) homomorphismes de la liste précédente, montrer que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), où \(\mathbf{c}\) est la fonction constante égale à \(c\), et qu’il existe un unique réel \(m\) tel que \(F(I_J-\mathbf{m})=0\). En déduire qu’il n’y a pas deux homomorphismes de la liste qui aient le même noyau.

3. Montrer que, si \(F\) est un homomorphisme quelconque de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\) tel que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), alors \(\mathscr{C}\) est la somme directe du noyau de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes. En déduire qu’il existe beaucoup de sous-groupes \(F\) de \(\mathscr{C}\) tels que \(\mathscr{C}\) soit la somme directe de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes.

[oraux/ex6540] centrale PC 2014 On munit \(\mathbf{R}^2\) de la loi \(*\) définie par \((x,y)*(a,b)=(x+a,y+b+xa)\).

1. Montrer que \((\mathbf{R}^2,{*})\) est un groupe.

2. Montrer que \(P=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2,\ y=x^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbf{R}^2,{*})\).

3. Montrer que \(\Phi:(\mathbf{R},{+})\rightarrow(P,{*})\) qui à \(x\) associe \((x,x^2)\) est un isomorphisme.