Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6505] polytechnique, espci PC 2013 Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[ev.algebre/ex0109] Montrer que l’ensemble des homothéties de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{L} E\).

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[structures/ex0603] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=2^x\).

4. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[planches/ex7099] centrale MP 2021 Soit \(G\) un groupe. On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \(G\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Rappeler les définitions d’un groupe et d’un morphisme de groupes. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe.

2. Déterminer \(\widehat G\) dans le cas où \(G=\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

[concours/ex1382] centrale MP 1998 Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[structures/ex0058] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=x^2\).

4. \(f(x)=x^3\).

5. \(f(x)=2^x\).

6. \(f(x)=\displaystyle{1\over x}\).

7. \(f(x)=3x\).

8. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[oraux/ex3477] ens paris MP 2011 Déterminer les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\).

[concours/ex6519] mines MP 2006 On note \(V\) l’ensemble des matrices à coefficients entiers ayant une forme du type \(\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{array}\right)\) et \(G\) l’ensemble des \(M\in V\) inversibles dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) et dont l’inverse est dans \(V\).

1. Quelle est la structure de \(G\) ?

2. Soit \(M\in V\). Montrer que \(M\in G\) si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\).

3. Donner un groupe standard isomorphe à \(G\) muni du produit.

[complexes/ex0281] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q}_+^*,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Montrer que les groupes abéliens \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}\) et \((\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z})^\mathbf{N}\) sont isomorphes.