Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0675] Soit \(f\) un morphisme du groupe \((G,{*})\) dans le groupe \((H,{\top})\). On note \(e\) l’élément neutre de \(G\) et \(e'\) celui de \(H\).

1. Montrer que : \[f(e)=e'.\]

2. Montrer que \(f\) est injectif si, et seulement si : \[f^{-1}(\{e'\})=\{e\}.\]

[planches/ex6625] mines MP 2021 Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex7256] polytechnique, espci PC 2009

1. Quels sont les sous-groupes de \(\mathbf{Z}\) ?

2. Quels sont les automorphismes de \((\mathbf{Z},{+})\) ?

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[concours/ex7319] polytechnique MP 2010 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver tous les morphismes de \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times}\right)\) dans \(\left(\vphantom{|_|}\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},{+}\right)\).

[structures/ex0057] Construire un endomorphisme de \((\mathbf{Z}/4\mathbf{Z},{+})\) dont le noyau et l’image sont \(\{0,2\}\).

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[structures/ex0058] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=x^2\).

4. \(f(x)=x^3\).

5. \(f(x)=2^x\).

6. \(f(x)=\displaystyle{1\over x}\).

7. \(f(x)=3x\).

8. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[planches/ex6395] polytechnique MP 2021 Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}^*,{\times})\) ?

[ev.algebre/ex0104] Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des homothéties d’un espace vectoriel \(E\), de rapport non nul. Montrer que \(\mathscr{H}\), muni de la composition, est un sous-groupe du groupe des bijections de \(E\), isomorphe au groupe multiplicatif \(K^*\).

Indication : on prouvera que \(\lambda\mapsto\lambda\,\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est un morphisme de groupes.