Édition de feuilles d'exercices

[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).

[oraux/ex6526] ens paris MP 2014 Soit \((T,A)\) un arbre, c’est-à-dire un graphe connexe sans cycle. Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(T\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(T)\) le groupe des permutations \(\sigma\) de \(T\) telles que \(\forall(x,y)\in T^2\), \(x\sim y\Longleftrightarrow\sigma(x)\sim\sigma(y)\).

Pour \((x,y)\in T^2\), on note \(d(x,y)\) la distance de \(x\) à \(y\) dans l’arbre \(T\), définie comme le plus petit entier \(n\) tels qu’il existe une suite \((x_0,\ldots,x_n)\) telle que \(x_0=x\), \(y=x_n\) et \(x_k\sim x_{k+1}\) pour tout \(k\in[[0,n-1]]\).

Soit \(\varphi:G\rightarrow\hbox{Aut}(T)\) un morphisme de groupes. On fixe un point \(s\in T\). On pose \(f:g\in G\mapsto d(s,\varphi(g)[s])\). Montrer que \(f\) vérifie les deux propriétés suivantes :

1. \(\forall g\in G\), \(f(g^{-1})=f(g)\) ;

2. \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\), \(\forall(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbf{C}^n\), \[\sum\limits_{k=1}^nz_k=0\Longrightarrow\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}z_i\overline{z_j}f(g_ig_j^{-1})\in\mathbf{R}_-.\]

Pour la seconde, on pourra introduire l’espace hermitien \(\mathscr{F}(A,\mathbf{C})\) et la fonction \(\psi\) qui à tout élément de \(G\) associe l’indicatrice de l’ensemble des arêtes figurant dans le chemin minimal joignant \(s\) à \(f(g)[s]\).

[planches/ex4618] polytechnique MP 2019

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\).

2. Soit \(P\) l’ensemble des \(z\in\mathbf{C}\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)>0\). Si \(M=\pmatrix{a&b\cr c&d}\) est dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et si \(z\) est dans \(P\), montrer que \(M.z=\displaystyle{az+b\over cz+d}\) est dans \(P\).

3. Montrer que, si \(M\) et \(M'\) sont dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et \(z\) dans \(P\), \(M'.(M.z)=M'M.z\).

4. Soient \(S=\pmatrix{0&-1\cr1&0}\) et \(T=\pmatrix{1&1\cr0&1}\), \(G\) le sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) engendré par \(S\) et \(T\). Montrer que, si \(z\in P\), il existe \(M\in G\) tel que, si \(z'=M.z\), on ait \(|z'|\geqslant 1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z')|\leqslant\displaystyle{1\over2}\).

[concours/ex1330] ens paris MP 1998 Déterminer les morphismes injectifs de \((\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}),{\times})\).

[oraux/ex6525] ens paris MP 2014 Soit \(\Gamma\) un graphe simple non orienté, c’est-à-dire un couple \((X,A)\) avec \(X\) un ensemble fini non vide, et \(A\) une partie de l’ensemble des paires d’éléments de \(X\). Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\Gamma\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) l’ensemble des permutations \(\sigma\) de \(X\) telles que \(\forall(x,y)\in X^2\), \(\sigma(x)\sim\sigma(y)\Longleftrightarrow x\sim y\).

1. Montrer que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}(X)\).

2. Trouver \(\Gamma\) tel que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) soit isomorphe à \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\).

3. Soit \(G\) un groupe fini. Montrer qu’il existe un graphe simple non orienté \(\Gamma\) tel que \(G\) soit isomorphe à \(\hbox{Aut}(\Gamma)\).

   Indication : introduire le graphe orienté dont l’ensemble des sommets est \(G\) et dans lequel, pour tout \((g,h)\in G^2\), il existe une arête de \(h\) à \(gh\) étiquetée par \(g\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[fct.reelles/ex2090] Montrer que \(\mathbf{R}\), muni de la loi de composition \(*\) définie par : \[x*y=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2},\] est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[oraux/ex6540] centrale PC 2014 On munit \(\mathbf{R}^2\) de la loi \(*\) définie par \((x,y)*(a,b)=(x+a,y+b+xa)\).

1. Montrer que \((\mathbf{R}^2,{*})\) est un groupe.

2. Montrer que \(P=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2,\ y=x^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbf{R}^2,{*})\).

3. Montrer que \(\Phi:(\mathbf{R},{+})\rightarrow(P,{*})\) qui à \(x\) associe \((x,x^2)\) est un isomorphisme.

[structures/ex0060] Soit \(\mathscr{C}\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\).

1. Trouver dans quels cas \(F\) est-elle un homomorphisme de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\), où \(F(f)\) est :

   1. \(f(1)\).

   2. \(|f(0)|\).

   3. \(\displaystyle{\int\limits_0^1f(x)\,dx}\).

   4. \(\displaystyle{ {\pi\over3}\int_0^1f(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\,dx}\).

   5. \(\displaystyle{\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi f(x)\over6}\,dx}\).

   6. \(\displaystyle{\int_0^1f\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\right)\,dx}\).

   7. \(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(x)\,f(y)\,dy\,dx}\).

   8. \(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(xy)\,dy\,dx}\).

   9. \(\displaystyle{2\int\limits_0^1\int\limits_0^xf(y)\,dy\,dx}\).

   10. \(\displaystyle{-f(0)+\int\limits_{-2}^0f(e^x)\,dx}\).

2. Pour chacun des \(7\) homomorphismes de la liste précédente, montrer que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), où \(\mathbf{c}\) est la fonction constante égale à \(c\), et qu’il existe un unique réel \(m\) tel que \(F(I_J-\mathbf{m})=0\). En déduire qu’il n’y a pas deux homomorphismes de la liste qui aient le même noyau.

3. Montrer que, si \(F\) est un homomorphisme quelconque de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\) tel que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), alors \(\mathscr{C}\) est la somme directe du noyau de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes. En déduire qu’il existe beaucoup de sous-groupes \(F\) de \(\mathscr{C}\) tels que \(\mathscr{C}\) soit la somme directe de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes.

[concours/ex6944] ens paris 2004 Soient \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe abélien de \(G\), \(x_1\), … , \(x_n\) des éléments de \(G\) tels que \(G\) soit réunion disjointe des \(x_iH=\{x_in,\ h\in\ H\}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Si \(g\in G\) et \(i\in\{1,\ldots,n\}\), \(gx_i\) s’écrit d’une unique façon \(x_jh\) avec \(1\leqslant j\leqslant n\) et \(h\in H\). On écrit \(j=g.i\) et \(h=h_{i,g.i}\).

On pose alors \(V(g)=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^nh_{i,g.i}\). Montrer que \(V\) est un morphisme de \(G\) dans \(H\) indépendant du choix des \(x_i\).