Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7703] mines MP 2006 Déterminer l’ensemble des morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans lui-même.

[structures/ex0675] Soit \(f\) un morphisme du groupe \((G,{*})\) dans le groupe \((H,{\top})\). On note \(e\) l’élément neutre de \(G\) et \(e'\) celui de \(H\).

1. Montrer que : \[f(e)=e'.\]

2. Montrer que \(f\) est injectif si, et seulement si : \[f^{-1}(\{e'\})=\{e\}.\]

[concours/ex7256] polytechnique, espci PC 2009

1. Quels sont les sous-groupes de \(\mathbf{Z}\) ?

2. Quels sont les automorphismes de \((\mathbf{Z},{+})\) ?

[ev.algebre/ex0104] Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des homothéties d’un espace vectoriel \(E\), de rapport non nul. Montrer que \(\mathscr{H}\), muni de la composition, est un sous-groupe du groupe des bijections de \(E\), isomorphe au groupe multiplicatif \(K^*\).

Indication : on prouvera que \(\lambda\mapsto\lambda\,\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est un morphisme de groupes.

[planches/ex3423] mines MP 2018 Soient \(m\), \(n\) deux entiers strictement positifs. Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\) dans \((\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},{+})\).

[structures/ex0057] Construire un endomorphisme de \((\mathbf{Z}/4\mathbf{Z},{+})\) dont le noyau et l’image sont \(\{0,2\}\).

[planches/ex6395] polytechnique MP 2021 Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}^*,{\times})\) ?

[structures/ex0603] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=2^x\).

4. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[oraux/ex6505] polytechnique, espci PC 2013 Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[oraux/ex3477] ens paris MP 2011 Déterminer les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\).

[structures/ex0734] Soit \(f:G\rightarrow H\) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que \(f{}^{-1}:H\rightarrow G\) est aussi un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif.

[structures/ex0304] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \(G\) vers \(G'\) et si \(e'\) est le neutre de \(G'\), on a : \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f=\{e'\}\).

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[planches/ex7099] centrale MP 2021 Soit \(G\) un groupe. On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \(G\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Rappeler les définitions d’un groupe et d’un morphisme de groupes. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe.

2. Déterminer \(\widehat G\) dans le cas où \(G=\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

[ev.algebre/ex0109] Montrer que l’ensemble des homothéties de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{L} E\).

[concours/ex1382] centrale MP 1998 Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[structures/ex0058] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=x^2\).

4. \(f(x)=x^3\).

5. \(f(x)=2^x\).

6. \(f(x)=\displaystyle{1\over x}\).

7. \(f(x)=3x\).

8. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[planches/ex7512] ens saclay, ens rennes MP 2022 On fixe un corps \(\mathbf{K}\) et on pose \(H=\left\{\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&1},\ (a,b,c)\in\mathbf{K}^3\right\}\).

1. Montrer que \(H\) est un sous-espace affine de dimension 3 de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\).

2. Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{K})\), et en déterminer le centre (c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de \(H\)).

3. On note \(L=\left\{\pmatrix{0&a&b\cr0&0&c\cr0&0&0},\ (a,b,c)\in\mathbf{K}^3\right\}\).

   On définit \(*\) par \(A*B=A+B+\displaystyle{1\over2}(AB-BA)\) pour \(A\) et \(B\) dans \(L\). Montrer que \((L,{*})\) est un groupe et que l’exponentielle définit un isomorphisme de groupes de \(L\) vers \(H\).

4. Calculer \(A^n\) pour \(A\in H\) et \(n\in\mathbf{N}\).

5. On prend \(\mathbf{K}=\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\). Montrer que \(H\) est isomorphe au groupe des isométries vectorielles de \(\mathbf{R}^2\) qui stabilisent le carré \(C:=\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\}\).

[oraux/ex6525] ens paris MP 2014 Soit \(\Gamma\) un graphe simple non orienté, c’est-à-dire un couple \((X,A)\) avec \(X\) un ensemble fini non vide, et \(A\) une partie de l’ensemble des paires d’éléments de \(X\). Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\Gamma\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) l’ensemble des permutations \(\sigma\) de \(X\) telles que \(\forall(x,y)\in X^2\), \(\sigma(x)\sim\sigma(y)\Longleftrightarrow x\sim y\).

1. Montrer que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}(X)\).

2. Trouver \(\Gamma\) tel que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) soit isomorphe à \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\).

3. Soit \(G\) un groupe fini. Montrer qu’il existe un graphe simple non orienté \(\Gamma\) tel que \(G\) soit isomorphe à \(\hbox{Aut}(\Gamma)\).

   Indication : introduire le graphe orienté dont l’ensemble des sommets est \(G\) et dans lequel, pour tout \((g,h)\in G^2\), il existe une arête de \(h\) à \(gh\) étiquetée par \(g\).

[planches/ex9408] polytechnique MP 2023

1. Soit \(s:\mathbf{R}^*\to\mathbf{R}^*\), \(t\mapsto t^{-1}\). Déterminer le groupe engendré par \(s\).

2. On définit les applications \(s_1:(t,u)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\) et ??

   Montrer que le sous-groupe qu’elles engendrent est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).

3. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient \(A\) de \((\mathbf{R}^*)^3\) par la relation de colinéarité, la bijection \(f:A\rightarrow(\mathbf{R}^*)^2\) qui associe à la classe de \((x_1,x_2,x_3)\) le couple \((x_1/x_2,x_2/x_3)\), et enfin les permutations de \(A\) induites par \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)\) et \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)\).

4. Soit \(n\geqslant 3\). Déterminer le groupe engendré par les bijections \((s_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) de \((\mathbf{R}^*)^n\) définies par \(s_i(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i\times t_{i+1},t_{i+2},\ldots,t_n)\) si \(1<i<n\), \(s_1(t_1,\ldots,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,\ldots,t_n)\) et \(s_n(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})\).

   Indication : Considérer \(f:(\mathbf{R}^*)^{n+1}\to(\mathbf{R}^*)^n\) définie par \(f(t_1,\ldots,t_{n+1})=\displaystyle\left(\frac{t_2}{t_1},\ldots,\frac{t_{n+1}}{t_n}\right)\) et chercher des bijections simples \(s_i'\) de \((\mathbf{R}^*)^{n+1}\) telles que \(s_i\mathbin{\circ} f=f\mathbin{\circ} s_i'\).

[planches/ex7511] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2022 Soit \(n\) et \(m\) dans \(\mathbf{N}^*\). On munit \(\mathbf{C}\) de sa structure canonique d’espace euclidien.

1. Expliciter les \(\phi\) dans \(\mathscr{O}(\mathbf{C})\) tels que \(\phi(\mathscr{U}_n)=\mathscr{U}_n\). On note \(\mathbf{D}_{2n}\) l’ensemble ainsi formé. C’est un sous-groupe de \(\mathscr{O}(\mathbf{C})\).

2. Dénombrer les morphismes de groupes de \(\mathbf{D}_{2m}\) vers \(\mathbf{D}_{2n}\).

3. Montrer que tout automorphisme du groupe \(\mathfrak{S}_3\) est de la forme \(g\longmapsto aga^{-1}\) pour un \(a\in\mathfrak{S}_3\).

[structures/ex0041] Si \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(F\), alors la fonction \[\Phi:u\mapsto f\circ u\circ f{}^{-1}\] est un isomorphisme de \(\mathfrak{S}_E\) dans \(\mathfrak{S}_F\).

[ev.algebre/ex1127] Montrer que : \(\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&0&x\\ -x&1&-\displaystyle{x^2\over2}\\0&0&1\end{array}\right)\mid x\in\mathbf{R}\right\}\) est un groupe multiplicatif, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[oraux/ex3486] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011

1. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\). Quelle est sa structure algébrique ?

2. À quel groupe est-il isomorphe ?

[concours/ex2426] ens lyon M 1995 Soient \(n\) et \(m\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n|m\). Trouver une surjection naturelle de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\) vers \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\).

Indication : on pourra d’abord étudier le cas où \(m\) et \(n\) ont les mêmes diviseurs premiers.

[ensembles/ex0125] Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Z},+)\) dans \((\mathbf{R}^*,\times)\) ?

[oraux/ex6540] centrale PC 2014 On munit \(\mathbf{R}^2\) de la loi \(*\) définie par \((x,y)*(a,b)=(x+a,y+b+xa)\).

1. Montrer que \((\mathbf{R}^2,{*})\) est un groupe.

2. Montrer que \(P=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2,\ y=x^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbf{R}^2,{*})\).

3. Montrer que \(\Phi:(\mathbf{R},{+})\rightarrow(P,{*})\) qui à \(x\) associe \((x,x^2)\) est un isomorphisme.

[planches/ex4618] polytechnique MP 2019

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\).

2. Soit \(P\) l’ensemble des \(z\in\mathbf{C}\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)>0\). Si \(M=\pmatrix{a&b\cr c&d}\) est dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et si \(z\) est dans \(P\), montrer que \(M.z=\displaystyle{az+b\over cz+d}\) est dans \(P\).

3. Montrer que, si \(M\) et \(M'\) sont dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et \(z\) dans \(P\), \(M'.(M.z)=M'M.z\).

4. Soient \(S=\pmatrix{0&-1\cr1&0}\) et \(T=\pmatrix{1&1\cr0&1}\), \(G\) le sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) engendré par \(S\) et \(T\). Montrer que, si \(z\in P\), il existe \(M\in G\) tel que, si \(z'=M.z\), on ait \(|z'|\geqslant 1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z')|\leqslant\displaystyle{1\over2}\).

[complexes/ex0281] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q}_+^*,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Montrer que les groupes abéliens \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}\) et \((\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z})^\mathbf{N}\) sont isomorphes.

[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).

[oraux/ex6535] ens paris MP 2014 Soit \(r\geqslant 1\).

1. Construire un groupe \(\Gamma_r\) engendré par \(r\) éléments \(\gamma_1\), … , \(\gamma_r\) tel que, pour tout groupe \(G\) engendré par \(r\) éléments \(g_1\), … , \(g_r\), il existe un unique morphisme \(p\) surjectif de \(\Gamma_r\) dans \(G\) tel que \(p(\gamma_i)=g_i\) pour tout \(i\). On montrera qu’il est unique à isomorphisme près.

2. Pour \(K\) sous-groupe de \(\Gamma_r\), on note \([\Gamma_r:K]\) le cardinal de \(\Gamma_r/K=\{gK,\ g\in\Gamma_r\}\). Pour \(n\), \(r\geqslant 1\), déterminer le nombre de sous-groupes \(K\) de \(\Gamma_r\) tels que \([\Gamma_r:K]=n\).

[structures/ex0678] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe et : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&x^2\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme si et seulement si \(G\) est abélien.

[ev.algebre/ex1033] Soit \(F=\Bigl\{A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\mid\exists a\in\mathbf{R}^*\quad A=\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\Bigr\}\).

1. Montrer que \((F,{\times})\) est un groupe commutatif.

2. Montrer que \(\varphi:\mathbf{R}^*\rightarrow F\), \(a\mapsto\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\) est un isomorphisme de groupes.

[structures/ex0050] Écrire la table de multiplication du groupe des (\(10\)) symétries d’un pentagone régulier. Construire un isomorphisme de ce groupe dans un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_5\).

[structures/ex0301] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(x\) est élément de \(G\), on a : \([f(x)]^{-1}=f(x^{-1})\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[planches/ex4403] ens paris MP 2019 Soient \(G\) un groupe, \(\delta\in\mathbf{R}_+^*\), \(E_\delta\) l’ensemble des applications \(f\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)f(y)|\leqslant\delta\).

1. Montrer que, si \(f\in E_\delta\) n’est pas bornée, alors \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

2. Trouver \(C>0\) tel que, pour toute \(f\in E_\delta\), on ait soit \(\forall x\in G\), \(|f(x)|\leqslant C\), soit \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

[structures/ex0530] Soit \(E\) un ensemble, et \(*\) une opération dans \(E\). On définit \(\overline*\) par : \[\forall(x,y)\in E^2\qquad x\mathbin{\overline*}y=y*x.\]

1. Montrer que \((E,{\overline*})\) peut ne pas être isomorphe à \((E,{*})\).

2. Montrer que, si \((E,{*})\) est un groupe, alors \((E,{\overline*})\) est isomorphe à \((E,{*})\).

[planches/ex4406] ens saclay, ens rennes MP 2019 Soient \(G\) un groupe fini, \(H\) et \(H'\) deux sous-groupes de \(G\). On dit que \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) lorsqu’il existe \(g\in G\) tel que \(H=gH'g^{-1}\).

1. Montrer que si \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) alors ils sont isomorphes.

2. Donner un contre-exemple à l’implication réciproque.

3. On suppose \(H\) isomorphe à \(H'\).

   1. Vérifier que \(\varphi:g\in G\longmapsto[h\longmapsto gh]\in\mathfrak{S}(G)\) est un morphisme injectif.

   2. Montrer que s’il existe \(\gamma\in\mathfrak{S}(G)\) tel que \(\varphi(H)=\gamma^{-1}\varphi(H')\gamma\) et \(\gamma(1_G)=1_G\), alors \(\gamma\) se restreint à un isomorphisme de \(H\) sur \(H'\).

   3. Montrer qu’il existe un entier \(r\geqslant 1\) et des éléments \(x_1\), … , \(x_r\), \(x'_1\), … , \(x'_r\) de \(G\) tels que \((Hx_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) et \((H'x'_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) partitionnent \(G\).

   4. En déduire que \(\varphi(H)\) et \(\varphi(H')\) sont conjugués dans \(\mathfrak{S}(G)\).

[concours/ex6519] mines MP 2006 On note \(V\) l’ensemble des matrices à coefficients entiers ayant une forme du type \(\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{array}\right)\) et \(G\) l’ensemble des \(M\in V\) inversibles dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) et dont l’inverse est dans \(V\).

1. Quelle est la structure de \(G\) ?

2. Soit \(M\in V\). Montrer que \(M\in G\) si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\).

3. Donner un groupe standard isomorphe à \(G\) muni du produit.

[structures/ex0060] Soit \(\mathscr{C}\) l’ensemble des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\).

1. Trouver dans quels cas \(F\) est-elle un homomorphisme de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\), où \(F(f)\) est :

   1. \(f(1)\).

   2. \(|f(0)|\).

   3. \(\displaystyle{\int\limits_0^1f(x)\,dx}\).

   4. \(\displaystyle{ {\pi\over3}\int_0^1f(x)\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\,dx}\).

   5. \(\displaystyle{\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi f(x)\over6}\,dx}\).

   6. \(\displaystyle{\int_0^1f\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits{\pi x\over6}\right)\,dx}\).

   7. \(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(x)\,f(y)\,dy\,dx}\).

   8. \(\displaystyle{\int\limits_0^1\int\limits_0^1f(xy)\,dy\,dx}\).

   9. \(\displaystyle{2\int\limits_0^1\int\limits_0^xf(y)\,dy\,dx}\).

   10. \(\displaystyle{-f(0)+\int\limits_{-2}^0f(e^x)\,dx}\).

2. Pour chacun des \(7\) homomorphismes de la liste précédente, montrer que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), où \(\mathbf{c}\) est la fonction constante égale à \(c\), et qu’il existe un unique réel \(m\) tel que \(F(I_J-\mathbf{m})=0\). En déduire qu’il n’y a pas deux homomorphismes de la liste qui aient le même noyau.

3. Montrer que, si \(F\) est un homomorphisme quelconque de \((\mathscr{C},{+})\) dans \((\mathbf{R},{+})\) tel que \(F(\mathbf{c})=c\) pour tout \(c\in\mathbf{R}\), alors \(\mathscr{C}\) est la somme directe du noyau de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes. En déduire qu’il existe beaucoup de sous-groupes \(F\) de \(\mathscr{C}\) tels que \(\mathscr{C}\) soit la somme directe de \(F\) et du sous-groupe des fonctions constantes.

[oraux/ex6526] ens paris MP 2014 Soit \((T,A)\) un arbre, c’est-à-dire un graphe connexe sans cycle. Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(T\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(T)\) le groupe des permutations \(\sigma\) de \(T\) telles que \(\forall(x,y)\in T^2\), \(x\sim y\Longleftrightarrow\sigma(x)\sim\sigma(y)\).

Pour \((x,y)\in T^2\), on note \(d(x,y)\) la distance de \(x\) à \(y\) dans l’arbre \(T\), définie comme le plus petit entier \(n\) tels qu’il existe une suite \((x_0,\ldots,x_n)\) telle que \(x_0=x\), \(y=x_n\) et \(x_k\sim x_{k+1}\) pour tout \(k\in[[0,n-1]]\).

Soit \(\varphi:G\rightarrow\hbox{Aut}(T)\) un morphisme de groupes. On fixe un point \(s\in T\). On pose \(f:g\in G\mapsto d(s,\varphi(g)[s])\). Montrer que \(f\) vérifie les deux propriétés suivantes :

1. \(\forall g\in G\), \(f(g^{-1})=f(g)\) ;

2. \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\), \(\forall(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbf{C}^n\), \[\sum\limits_{k=1}^nz_k=0\Longrightarrow\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}z_i\overline{z_j}f(g_ig_j^{-1})\in\mathbf{R}_-.\]

Pour la seconde, on pourra introduire l’espace hermitien \(\mathscr{F}(A,\mathbf{C})\) et la fonction \(\psi\) qui à tout élément de \(G\) associe l’indicatrice de l’ensemble des arêtes figurant dans le chemin minimal joignant \(s\) à \(f(g)[s]\).

[structures/ex0397] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe.

1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de \(G\), muni de la loi \(\mathbin{\circ}\), est un groupe, noté \(\hbox{aut}(G)\).

2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\hbox{aut}(G)\), et : \[\begin{array}{rcl} \varphi:G&\longrightarrow&\mathfrak{P}(G)\\ x&\longmapsto&\{f(x)\mid f\in H\}\ ;\end{array}\] \(\varphi(x)\) est appelé l’orbite de \(x\) sous \(H\). Vérifier que \(\varphi(G)\) est une partition de \(G\).

[structures/ex0299] Vrai ou faux ?

Un endomorphisme de groupes est un automorphisme de groupes bijectif.

[planches/ex7513] ens lyon MP 2022 On prend pour \(\mathbf{K}\) l’un des corps \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\).

1. Déterminer les éléments de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) qui commutent avec tous les autres.

2. Étant donné \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(\mathbf{P}^n(\mathbf{K})\) l’ensemble quotient de \(\mathbf{K}^{n+1}\setminus\{0\}\) pour la relation de colinéarité entre vecteurs. On choisit un élément \(\infty\) hors de \(\mathbf{K}\). Montrer que l’on définit une bijection de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) sur \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) en associant à la classe de \((a,b)\) le nombre \(\displaystyle{a\over b}\) si \(b\neq0\), et \(\infty\) si \(b=0\).

3. On note \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) le quotient de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) par la relation d’équivalence définie comme suit : \(P\sim Q\Longleftrightarrow\exists\alpha\in\mathbf{K}^*\ :\ P=\alpha Q\). Montrer qu’il existe une unique structure de groupe sur \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) faisant de la projection canonique \(P\longmapsto[P]\) un morphisme de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) dans \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\). On munit \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) de cette structure de groupe dans toute la suite de l’énoncé.

4. Montrer que, pour \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) et \(X\in\mathbf{K}^n\), la classe de colinéarité du vecteur \(PX\) ne dépend que de la classe de \(P\) modulo \(\sim\) et de la classe de colinéarité de \(X\). On obtient ainsi une fonction \(\rho:\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\times\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\longrightarrow\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\) envoyant systématiquement le couple \(([P],[X])\) sur \([PX]\). On notera \(g.x:=\rho(g,x)\) pour \(g\in\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) et \(x\in\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\).

5. Soit \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) représenté par la matrice \(\pmatrix{a&b\cr c&d}\). Montrer que, via l’identification de la question 2 entre \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) et \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), l’application \(x\longmapsto g.x\) s’identifie à l’homographie \(\rho_g:z\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\longmapsto\displaystyle{az+b\over cz+d}\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), en convenant que \(\displaystyle{az+b\over cz+d}=\infty\) si \(z\in\mathbf{K}\) et \(cz+d=0\), \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}={a\over c}\) si \(c\in\mathbf{K}^*\), et \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}=\infty\) si \(c=0\).

6. Soit \(a\), \(b\), \(c\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), et \(a'\), \(b'\), \(c'\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\). Montrer qu’il existe \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) tel que \((a',b',c')=(g.a,g.b,g.c)\).

7. Pour \(x\in\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), on note \(S_x:=\{g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\ :\ g.x=x\}\). Expliciter \(S_0\), \(S_\infty\), \(S_0\cap S_\infty\) et \(S_0\cap S_\infty\cap S_1\) (avec l’identification précédente entre \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) et \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\)).

8. Montrer que, dans le groupe \(\hbox{PGL}_2(\mathbf{C})\), tout élément d’ordre 2 est conjugué à l’élément dont l’homographie associée est \(z\longmapsto-z\).

[concours/ex7081] mines PSI 2005 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe et \(f\) un endomorphisme de \(G\) tel que : \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(x^2y^3)=x^3y^2\). Montrer que \(G\) est commutatif.

[concours/ex6944] ens paris 2004 Soient \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe abélien de \(G\), \(x_1\), … , \(x_n\) des éléments de \(G\) tels que \(G\) soit réunion disjointe des \(x_iH=\{x_in,\ h\in\ H\}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Si \(g\in G\) et \(i\in\{1,\ldots,n\}\), \(gx_i\) s’écrit d’une unique façon \(x_jh\) avec \(1\leqslant j\leqslant n\) et \(h\in H\). On écrit \(j=g.i\) et \(h=h_{i,g.i}\).

On pose alors \(V(g)=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^nh_{i,g.i}\). Montrer que \(V\) est un morphisme de \(G\) dans \(H\) indépendant du choix des \(x_i\).

[concours/ex6890] ens paris, ens lyon, ens cachan 2003 Trouver les groupes isomorphes parmi \((\mathbf{R},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{F}_3),{\mathbin{\circ}})\), \((\mathbf{Z}/6\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}/3\mathbf{Z},{+})\), \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})^*},{\times}\right)\), \((\mathscr{S}_3,{\mathbin{\circ}})\).

[structures/ex0051] Soit \(\mathbf{R}^*\) l’ensemble des réels non nuls, et \(E=\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\).

1. Soit \(\triangle\) la loi définie sur \(E\) par \[\forall((a,b),(c,d))\in E^2\quad(a,b)\triangle(c,d)=(ac,ad+b).\] Montrer que \((E,{\triangle})\) est un groupe.

2. Pour \((a,b)\in E\), soit \(f_{a,b}\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) définie par \[f_{a,b}(x)=ax+b,\] et soit \[\mathfrak{S}=\{f_{a,b},(a,b)\in E\}.\] Montrer que \(\mathfrak{S}\) est un groupe de permutations de \(\mathbf{R}\) isomorphe au groupe \((E,{\triangle})\) de la question précédente.