Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7234] ens paris MP 2009 Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes : \((\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) ?

[structures/ex0669] Montrer que \(*\) est une loi interne sur \(\mathbf{R}\) et donner ses propriétés : \[a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3}.\]

[oraux/ex6497] ens paris MP 2013 Pour \(p\) premier, on note \(\mathscr{Z}_p=\left\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists k\in\mathbf{N}^*,\ z^{p^k}=1\right\}\).

1. Montrer que \((\mathscr{Z}_p,{\times})\) est un groupe.

2. Déterminer les sous-groupes de \(\mathscr{Z}_p\). Parmi les sous-groupes non triviaux de \(\mathscr{Z}_p\), y en a-t-il un maximal ?

3. Soit \(\varphi:\mathscr{Z}_p\rightarrow G\) un morphisme surjectif, où \(G\) est un groupe arbitraire. Montrer que \(G\) est trivial ou isomorphe à \(\mathscr{Z}_p\).

4. Montrer que la réunion, pour \(p\) premier, des \(\mathscr{Z}_p\) engendre le groupe \(\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists n\in\mathbf{N}^*,\ z^n=1\}\).

[planches/ex4400] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2019 Soient \((G,{\cdot})\) un groupe, \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits(G)\) l’ensemble de ses automorphismes.

1. Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits(G),{\mathbin{\circ}})\) est un groupe.

2. Quels sont les groupes finis tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits(G)\) soit réduit à un élément ?

[structures/ex0536] Un sous-groupe strict d’un groupe peut-il être isomorphe au groupe entier ?