Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6961] ens paris 2004

1. Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbf{Z}^n,{+})\) avec \(n\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(m\in\{0,\ldots,n\}\) tel que \(G\) soit isomorphe à \((\mathbf{Z}^m,{+})\).

2. A quelle condition \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^p,{+})\) sont-ils isomorphes ?

[structures/ex0267] On définit sur \(\mathbf{R}\) la loi \(\nabla\) par : \(x\nabla y=\sqrt[3]{x^3+y^3}\). Montrer que \((\mathbf{R},{\nabla})\) est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0398] Soient \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\), et \(*\) la loi de composition interne définie dans \(\mathbf{R}\) par \(x*y=\sqrt[n]{x^n+y^n}\). En utilisant l’application \(x\mapsto\sqrt[n]x\), montrer que \((\mathbf{R},{*})\) est un groupe, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0669] Montrer que \(*\) est une loi interne sur \(\mathbf{R}\) et donner ses propriétés : \[a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3}.\]

[concours/ex6208] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006

1. Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^2,{+})\) sont-ils isomorphes ?

2. Pour quels \((m,n)\in\mathbf{N}^*\) les groupes \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^m,{+})\) sont-ils isomorphes ?