Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7960] mines MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) inversibles dont l’inverse est aussi à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est un groupe.

2. Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) d’ordre fini. On suppose qu’il existe \(p\geqslant 3\) premier et \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) tels que \(A=I_n+pM\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A=\{1\}\). Que conclure ?

[planches/ex6447] polytechnique MP 2021

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).

[planches/ex1432] ens lyon MP 2017 Soient \(p>3\) un nombre premier et \(\varphi:\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\rightarrow\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})\) la réduction canonique modulo \(p\). Soit \(G\) un sous groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(\varphi_{|G}\) est injective.

[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).

1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).

   On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.

3. Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).

[planches/ex4404] ens paris MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Si \(f\) est une fonction de \(G\) dans \(\mathbf{R}\), on dit que \(f\) est un quasi-morphisme s’il existe \(C>0\) tel que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)-f(y)|\leqslant C\) et que \(f\) est un quasi-caractère si \(\forall(n,x)\in\mathbf{Z}\times G\), \(f(x^n)=nf(x)\). Montrer que, pour tout quasi-morphisme \(M\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\), il existe un unique quasi-morphisme qui est aussi un quasi-caractère \(Q\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) tel que \(M-Q\) soit bornée.