Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7087] centrale MP 2005

1. Soit \(G\) un groupe tel que : \(\forall g\in G\), \(g^2=e\). Montrer que \(G\) est abélien.

2. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que : \(\forall A\in G\), \(A^2=I_n\). Montrer qu’il existe \(P\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(P^{-1}AP\) soit diagonale ; en déduire : \(|G|\leqslant 2^n\).

3. Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes si \(n\neq m\).

[planches/ex6422] polytechnique MP 2021

1. Soient \(G\) un groupe, \(\chi_1\), … , \(\chi_m\) des morphismes distincts de \(G\) dans \(\mathbf{C}^*\). Montrer que \((\chi_1,\ldots,\chi_m)\) est une famille libre de \(\mathbf{C}^G\).

2. Déterminer les morphismes de groupes continus de \(\mathbf{U}\) dans \(\mathbf{C}^*\).

[concours/ex6967] ens paris 2004

1. Décrire les sous-groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) isomorphes à \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^p,{+}}\right)\) si \((n,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\).

2. Les groupes \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) et \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex7783] ens paris MP 2008

1. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{R},{+})\).

2. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[planches/ex9452] polytechnique MP 2023 Déterminer les endomorphismes continus du groupe \(\mathbf{C}^*\).