Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4180] centrale MP 2011 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\) dans \(G\), on ait : \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien.

2. Montrer qu’il existe \(p\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que toutes les \(pgp^{-1}\), \(g\in G\) soient diagonales.

3. Montrer que \(G\) est fini, majorer son cardinal par une expression ne dépendant que de \(n\).

4. Montrer que si \(m\) est dans \(\mathbf{N}^*\) et \(m\neq n\), les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[concours/ex0834] ens lyon MP 1997 Soient \(L\) et \(K\) deux corps commutatifs de caractéristique différente de \(2\).

1. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\in G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits G\leqslant 2^n\).

2. On suppose qu’il existe un homéomorphisme injectif de groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(L)\). Montrer que \(n\leqslant m\).

[concours/ex9609] centrale MP 2006

1. Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie et \(\mathscr{U}\) un ensemble d’endomorphismes diagonalisables de \(E\) qui commutent deux à deux. Montrer l’existence d’une base de \(E\) qui diagonalise tout élément de \(\mathscr{U}\).

2. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) dont tout élément est de carré \(I_n\). Montrer que \(G\) est commutatif et de cardinal \(\leqslant 2^n\).

3. Montrer que si \(n\) et \(m\) sont distincts, les groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[planches/ex7956] mines MP 2022

1. Soit \((m,n)\in{\mathbf{N}^*}^2\). Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) sont isomorphes si et seulement si \(m=n\).

2. Généraliser en remplaçant \(\mathbf{C}\) par un corps \(\mathbf{K}\).

[concours/ex7087] centrale MP 2005

1. Soit \(G\) un groupe tel que : \(\forall g\in G\), \(g^2=e\). Montrer que \(G\) est abélien.

2. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que : \(\forall A\in G\), \(A^2=I_n\). Montrer qu’il existe \(P\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(P^{-1}AP\) soit diagonale ; en déduire : \(|G|\leqslant 2^n\).

3. Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes si \(n\neq m\).