Édition de feuilles d'exercices

[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).

[planches/ex4406] ens saclay, ens rennes MP 2019 Soient \(G\) un groupe fini, \(H\) et \(H'\) deux sous-groupes de \(G\). On dit que \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) lorsqu’il existe \(g\in G\) tel que \(H=gH'g^{-1}\).

1. Montrer que si \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) alors ils sont isomorphes.

2. Donner un contre-exemple à l’implication réciproque.

3. On suppose \(H\) isomorphe à \(H'\).

   1. Vérifier que \(\varphi:g\in G\longmapsto[h\longmapsto gh]\in\mathfrak{S}(G)\) est un morphisme injectif.

   2. Montrer que s’il existe \(\gamma\in\mathfrak{S}(G)\) tel que \(\varphi(H)=\gamma^{-1}\varphi(H')\gamma\) et \(\gamma(1_G)=1_G\), alors \(\gamma\) se restreint à un isomorphisme de \(H\) sur \(H'\).

   3. Montrer qu’il existe un entier \(r\geqslant 1\) et des éléments \(x_1\), … , \(x_r\), \(x'_1\), … , \(x'_r\) de \(G\) tels que \((Hx_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) et \((H'x'_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) partitionnent \(G\).

   4. En déduire que \(\varphi(H)\) et \(\varphi(H')\) sont conjugués dans \(\mathfrak{S}(G)\).

[planches/ex4403] ens paris MP 2019 Soient \(G\) un groupe, \(\delta\in\mathbf{R}_+^*\), \(E_\delta\) l’ensemble des applications \(f\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)f(y)|\leqslant\delta\).

1. Montrer que, si \(f\in E_\delta\) n’est pas bornée, alors \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

2. Trouver \(C>0\) tel que, pour toute \(f\in E_\delta\), on ait soit \(\forall x\in G\), \(|f(x)|\leqslant C\), soit \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

[planches/ex7513] ens lyon MP 2022 On prend pour \(\mathbf{K}\) l’un des corps \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\).

1. Déterminer les éléments de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) qui commutent avec tous les autres.

2. Étant donné \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(\mathbf{P}^n(\mathbf{K})\) l’ensemble quotient de \(\mathbf{K}^{n+1}\setminus\{0\}\) pour la relation de colinéarité entre vecteurs. On choisit un élément \(\infty\) hors de \(\mathbf{K}\). Montrer que l’on définit une bijection de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) sur \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) en associant à la classe de \((a,b)\) le nombre \(\displaystyle{a\over b}\) si \(b\neq0\), et \(\infty\) si \(b=0\).

3. On note \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) le quotient de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) par la relation d’équivalence définie comme suit : \(P\sim Q\Longleftrightarrow\exists\alpha\in\mathbf{K}^*\ :\ P=\alpha Q\). Montrer qu’il existe une unique structure de groupe sur \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) faisant de la projection canonique \(P\longmapsto[P]\) un morphisme de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) dans \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\). On munit \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) de cette structure de groupe dans toute la suite de l’énoncé.

4. Montrer que, pour \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) et \(X\in\mathbf{K}^n\), la classe de colinéarité du vecteur \(PX\) ne dépend que de la classe de \(P\) modulo \(\sim\) et de la classe de colinéarité de \(X\). On obtient ainsi une fonction \(\rho:\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\times\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\longrightarrow\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\) envoyant systématiquement le couple \(([P],[X])\) sur \([PX]\). On notera \(g.x:=\rho(g,x)\) pour \(g\in\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) et \(x\in\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\).

5. Soit \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) représenté par la matrice \(\pmatrix{a&b\cr c&d}\). Montrer que, via l’identification de la question 2 entre \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) et \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), l’application \(x\longmapsto g.x\) s’identifie à l’homographie \(\rho_g:z\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\longmapsto\displaystyle{az+b\over cz+d}\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), en convenant que \(\displaystyle{az+b\over cz+d}=\infty\) si \(z\in\mathbf{K}\) et \(cz+d=0\), \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}={a\over c}\) si \(c\in\mathbf{K}^*\), et \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}=\infty\) si \(c=0\).

6. Soit \(a\), \(b\), \(c\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), et \(a'\), \(b'\), \(c'\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\). Montrer qu’il existe \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) tel que \((a',b',c')=(g.a,g.b,g.c)\).

7. Pour \(x\in\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), on note \(S_x:=\{g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\ :\ g.x=x\}\). Expliciter \(S_0\), \(S_\infty\), \(S_0\cap S_\infty\) et \(S_0\cap S_\infty\cap S_1\) (avec l’identification précédente entre \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) et \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\)).

8. Montrer que, dans le groupe \(\hbox{PGL}_2(\mathbf{C})\), tout élément d’ordre 2 est conjugué à l’élément dont l’homographie associée est \(z\longmapsto-z\).

[oraux/ex6540] centrale PC 2014 On munit \(\mathbf{R}^2\) de la loi \(*\) définie par \((x,y)*(a,b)=(x+a,y+b+xa)\).

1. Montrer que \((\mathbf{R}^2,{*})\) est un groupe.

2. Montrer que \(P=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2,\ y=x^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbf{R}^2,{*})\).

3. Montrer que \(\Phi:(\mathbf{R},{+})\rightarrow(P,{*})\) qui à \(x\) associe \((x,x^2)\) est un isomorphisme.