Édition de feuilles d'exercices

[complexes/ex0280] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q},\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Pour chaque \(\lambda\in\mathbf{R}\), on considère l’élément \(f_\lambda\) de \(\widehat{\mathbf{Q}}\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{Q}\quad f_\lambda(x)=e^{i\lambda x}.\] Étudier l’homomorphisme du groupe \((\mathbf{R},{+})\) dans le groupe \(\widehat{\mathbf{Q}}\).

[concours/ex6519] mines MP 2006 On note \(V\) l’ensemble des matrices à coefficients entiers ayant une forme du type \(\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{array}\right)\) et \(G\) l’ensemble des \(M\in V\) inversibles dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) et dont l’inverse est dans \(V\).

1. Quelle est la structure de \(G\) ?

2. Soit \(M\in V\). Montrer que \(M\in G\) si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\).

3. Donner un groupe standard isomorphe à \(G\) muni du produit.

[structures/ex0397] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe.

1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de \(G\), muni de la loi \(\mathbin{\circ}\), est un groupe, noté \(\hbox{aut}(G)\).

2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\hbox{aut}(G)\), et : \[\begin{array}{rcl} \varphi:G&\longrightarrow&\mathfrak{P}(G)\\ x&\longmapsto&\{f(x)\mid f\in H\}\ ;\end{array}\] \(\varphi(x)\) est appelé l’orbite de \(x\) sous \(H\). Vérifier que \(\varphi(G)\) est une partition de \(G\).

[oraux/ex6535] ens paris MP 2014 Soit \(r\geqslant 1\).

1. Construire un groupe \(\Gamma_r\) engendré par \(r\) éléments \(\gamma_1\), … , \(\gamma_r\) tel que, pour tout groupe \(G\) engendré par \(r\) éléments \(g_1\), … , \(g_r\), il existe un unique morphisme \(p\) surjectif de \(\Gamma_r\) dans \(G\) tel que \(p(\gamma_i)=g_i\) pour tout \(i\). On montrera qu’il est unique à isomorphisme près.

2. Pour \(K\) sous-groupe de \(\Gamma_r\), on note \([\Gamma_r:K]\) le cardinal de \(\Gamma_r/K=\{gK,\ g\in\Gamma_r\}\). Pour \(n\), \(r\geqslant 1\), déterminer le nombre de sous-groupes \(K\) de \(\Gamma_r\) tels que \([\Gamma_r:K]=n\).

[concours/ex6890] ens paris, ens lyon, ens cachan 2003 Trouver les groupes isomorphes parmi \((\mathbf{R},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{F}_3),{\mathbin{\circ}})\), \((\mathbf{Z}/6\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\times\mathbf{Z}/3\mathbf{Z},{+})\), \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})^*},{\times}\right)\), \((\mathscr{S}_3,{\mathbin{\circ}})\).