Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8132] mines MP 2022 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(u:\mathbf{R}\longrightarrow\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. \(u\) est un morphisme de groupes de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\),

2. il existe \(A\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t)=e^{tA}\).

[concours/ex9206] centrale MP 2006 Quelles sont les fonctions \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}\) qui sont continues, de période \(2\pi\) et vérifient \(f(x+y)=f(x)f(y)\) pour tous \(x\) et \(y\) réels ?

[planches/ex1965] mines MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\in G\), \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien et que son cardinal est une puissance de 2. Quel est le cardinal maximal d’un tel sous-groupe ?

2. Que peut-on dire de \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) soient isomorphes ?

[concours/ex9609] centrale MP 2006

1. Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie et \(\mathscr{U}\) un ensemble d’endomorphismes diagonalisables de \(E\) qui commutent deux à deux. Montrer l’existence d’une base de \(E\) qui diagonalise tout élément de \(\mathscr{U}\).

2. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) dont tout élément est de carré \(I_n\). Montrer que \(G\) est commutatif et de cardinal \(\leqslant 2^n\).

3. Montrer que si \(n\) et \(m\) sont distincts, les groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[concours/ex3705] ens cachan M 1992

1. Soit \(K\) un corps commutatif de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\). Que dire du cardinal de \(G\) ?

2. Étudier l’existence d’isomorphismes entre les groupes suivants : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(K)\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{Q})\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\).