Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1330] ens paris MP 1998 Déterminer les morphismes injectifs de \((\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}),{\times})\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[planches/ex4618] polytechnique MP 2019

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\).

2. Soit \(P\) l’ensemble des \(z\in\mathbf{C}\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)>0\). Si \(M=\pmatrix{a&b\cr c&d}\) est dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et si \(z\) est dans \(P\), montrer que \(M.z=\displaystyle{az+b\over cz+d}\) est dans \(P\).

3. Montrer que, si \(M\) et \(M'\) sont dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et \(z\) dans \(P\), \(M'.(M.z)=M'M.z\).

4. Soient \(S=\pmatrix{0&-1\cr1&0}\) et \(T=\pmatrix{1&1\cr0&1}\), \(G\) le sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) engendré par \(S\) et \(T\). Montrer que, si \(z\in P\), il existe \(M\in G\) tel que, si \(z'=M.z\), on ait \(|z'|\geqslant 1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z')|\leqslant\displaystyle{1\over2}\).

[concours/ex2426] ens lyon M 1995 Soient \(n\) et \(m\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n|m\). Trouver une surjection naturelle de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\) vers \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\).

Indication : on pourra d’abord étudier le cas où \(m\) et \(n\) ont les mêmes diviseurs premiers.

[structures/ex0051] Soit \(\mathbf{R}^*\) l’ensemble des réels non nuls, et \(E=\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\).

1. Soit \(\triangle\) la loi définie sur \(E\) par \[\forall((a,b),(c,d))\in E^2\quad(a,b)\triangle(c,d)=(ac,ad+b).\] Montrer que \((E,{\triangle})\) est un groupe.

2. Pour \((a,b)\in E\), soit \(f_{a,b}\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) définie par \[f_{a,b}(x)=ax+b,\] et soit \[\mathfrak{S}=\{f_{a,b},(a,b)\in E\}.\] Montrer que \(\mathfrak{S}\) est un groupe de permutations de \(\mathbf{R}\) isomorphe au groupe \((E,{\triangle})\) de la question précédente.