Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0397] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe.

1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de \(G\), muni de la loi \(\mathbin{\circ}\), est un groupe, noté \(\hbox{aut}(G)\).

2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\hbox{aut}(G)\), et : \[\begin{array}{rcl} \varphi:G&\longrightarrow&\mathfrak{P}(G)\\ x&\longmapsto&\{f(x)\mid f\in H\}\ ;\end{array}\] \(\varphi(x)\) est appelé l’orbite de \(x\) sous \(H\). Vérifier que \(\varphi(G)\) est une partition de \(G\).

[concours/ex6944] ens paris 2004 Soient \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe abélien de \(G\), \(x_1\), … , \(x_n\) des éléments de \(G\) tels que \(G\) soit réunion disjointe des \(x_iH=\{x_in,\ h\in\ H\}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Si \(g\in G\) et \(i\in\{1,\ldots,n\}\), \(gx_i\) s’écrit d’une unique façon \(x_jh\) avec \(1\leqslant j\leqslant n\) et \(h\in H\). On écrit \(j=g.i\) et \(h=h_{i,g.i}\).

On pose alors \(V(g)=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^nh_{i,g.i}\). Montrer que \(V\) est un morphisme de \(G\) dans \(H\) indépendant du choix des \(x_i\).

[oraux/ex3486] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011

1. Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})\). Quelle est sa structure algébrique ?

2. À quel groupe est-il isomorphe ?

[structures/ex0050] Écrire la table de multiplication du groupe des (\(10\)) symétries d’un pentagone régulier. Construire un isomorphisme de ce groupe dans un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_5\).

[ev.algebre/ex1033] Soit \(F=\Bigl\{A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\mid\exists a\in\mathbf{R}^*\quad A=\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\Bigr\}\).

1. Montrer que \((F,{\times})\) est un groupe commutatif.

2. Montrer que \(\varphi:\mathbf{R}^*\rightarrow F\), \(a\mapsto\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\) est un isomorphisme de groupes.