Édition de feuilles d'exercices

[fct.reelles/ex2090] Montrer que \(\mathbf{R}\), muni de la loi de composition \(*\) définie par : \[x*y=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2},\] est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0530] Soit \(E\) un ensemble, et \(*\) une opération dans \(E\). On définit \(\overline*\) par : \[\forall(x,y)\in E^2\qquad x\mathbin{\overline*}y=y*x.\]

1. Montrer que \((E,{\overline*})\) peut ne pas être isomorphe à \((E,{*})\).

2. Montrer que, si \((E,{*})\) est un groupe, alors \((E,{\overline*})\) est isomorphe à \((E,{*})\).

[structures/ex0397] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe.

1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de \(G\), muni de la loi \(\mathbin{\circ}\), est un groupe, noté \(\hbox{aut}(G)\).

2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\hbox{aut}(G)\), et : \[\begin{array}{rcl} \varphi:G&\longrightarrow&\mathfrak{P}(G)\\ x&\longmapsto&\{f(x)\mid f\in H\}\ ;\end{array}\] \(\varphi(x)\) est appelé l’orbite de \(x\) sous \(H\). Vérifier que \(\varphi(G)\) est une partition de \(G\).

[ensembles/ex0125] Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Z},+)\) dans \((\mathbf{R}^*,\times)\) ?

[concours/ex6519] mines MP 2006 On note \(V\) l’ensemble des matrices à coefficients entiers ayant une forme du type \(\left(\begin{array}{cccc} a&b&c&d\\d&a&b&c\\c&d&a&b\\b&c&d&a\end{array}\right)\) et \(G\) l’ensemble des \(M\in V\) inversibles dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) et dont l’inverse est dans \(V\).

1. Quelle est la structure de \(G\) ?

2. Soit \(M\in V\). Montrer que \(M\in G\) si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\).

3. Donner un groupe standard isomorphe à \(G\) muni du produit.