Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[concours/ex1382] centrale MP 1998 Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[planches/ex7513] ens lyon MP 2022 On prend pour \(\mathbf{K}\) l’un des corps \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\).

1. Déterminer les éléments de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) qui commutent avec tous les autres.

2. Étant donné \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(\mathbf{P}^n(\mathbf{K})\) l’ensemble quotient de \(\mathbf{K}^{n+1}\setminus\{0\}\) pour la relation de colinéarité entre vecteurs. On choisit un élément \(\infty\) hors de \(\mathbf{K}\). Montrer que l’on définit une bijection de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) sur \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) en associant à la classe de \((a,b)\) le nombre \(\displaystyle{a\over b}\) si \(b\neq0\), et \(\infty\) si \(b=0\).

3. On note \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) le quotient de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) par la relation d’équivalence définie comme suit : \(P\sim Q\Longleftrightarrow\exists\alpha\in\mathbf{K}^*\ :\ P=\alpha Q\). Montrer qu’il existe une unique structure de groupe sur \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) faisant de la projection canonique \(P\longmapsto[P]\) un morphisme de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) dans \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\). On munit \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) de cette structure de groupe dans toute la suite de l’énoncé.

4. Montrer que, pour \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) et \(X\in\mathbf{K}^n\), la classe de colinéarité du vecteur \(PX\) ne dépend que de la classe de \(P\) modulo \(\sim\) et de la classe de colinéarité de \(X\). On obtient ainsi une fonction \(\rho:\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\times\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\longrightarrow\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\) envoyant systématiquement le couple \(([P],[X])\) sur \([PX]\). On notera \(g.x:=\rho(g,x)\) pour \(g\in\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) et \(x\in\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\).

5. Soit \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) représenté par la matrice \(\pmatrix{a&b\cr c&d}\). Montrer que, via l’identification de la question 2 entre \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) et \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), l’application \(x\longmapsto g.x\) s’identifie à l’homographie \(\rho_g:z\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\longmapsto\displaystyle{az+b\over cz+d}\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), en convenant que \(\displaystyle{az+b\over cz+d}=\infty\) si \(z\in\mathbf{K}\) et \(cz+d=0\), \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}={a\over c}\) si \(c\in\mathbf{K}^*\), et \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}=\infty\) si \(c=0\).

6. Soit \(a\), \(b\), \(c\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), et \(a'\), \(b'\), \(c'\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\). Montrer qu’il existe \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) tel que \((a',b',c')=(g.a,g.b,g.c)\).

7. Pour \(x\in\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), on note \(S_x:=\{g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\ :\ g.x=x\}\). Expliciter \(S_0\), \(S_\infty\), \(S_0\cap S_\infty\) et \(S_0\cap S_\infty\cap S_1\) (avec l’identification précédente entre \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) et \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\)).

8. Montrer que, dans le groupe \(\hbox{PGL}_2(\mathbf{C})\), tout élément d’ordre 2 est conjugué à l’élément dont l’homographie associée est \(z\longmapsto-z\).

[fct.reelles/ex2090] Montrer que \(\mathbf{R}\), muni de la loi de composition \(*\) définie par : \[x*y=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2},\] est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).