Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0734] Soit \(f:G\rightarrow H\) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que \(f{}^{-1}:H\rightarrow G\) est aussi un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif.

[planches/ex3423] mines MP 2018 Soient \(m\), \(n\) deux entiers strictement positifs. Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\) dans \((\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},{+})\).

[ev.algebre/ex0104] Soit \(\mathscr{H}\) l’ensemble des homothéties d’un espace vectoriel \(E\), de rapport non nul. Montrer que \(\mathscr{H}\), muni de la composition, est un sous-groupe du groupe des bijections de \(E\), isomorphe au groupe multiplicatif \(K^*\).

Indication : on prouvera que \(\lambda\mapsto\lambda\,\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\) est un morphisme de groupes.

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[structures/ex0304] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \(G\) vers \(G'\) et si \(e'\) est le neutre de \(G'\), on a : \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f=\{e'\}\).