Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0050] Écrire la table de multiplication du groupe des (\(10\)) symétries d’un pentagone régulier. Construire un isomorphisme de ce groupe dans un sous-groupe de \(\mathfrak{S}_5\).

[structures/ex0051] Soit \(\mathbf{R}^*\) l’ensemble des réels non nuls, et \(E=\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\).

1. Soit \(\triangle\) la loi définie sur \(E\) par \[\forall((a,b),(c,d))\in E^2\quad(a,b)\triangle(c,d)=(ac,ad+b).\] Montrer que \((E,{\triangle})\) est un groupe.

2. Pour \((a,b)\in E\), soit \(f_{a,b}\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) définie par \[f_{a,b}(x)=ax+b,\] et soit \[\mathfrak{S}=\{f_{a,b},(a,b)\in E\}.\] Montrer que \(\mathfrak{S}\) est un groupe de permutations de \(\mathbf{R}\) isomorphe au groupe \((E,{\triangle})\) de la question précédente.

[oraux/ex6525] ens paris MP 2014 Soit \(\Gamma\) un graphe simple non orienté, c’est-à-dire un couple \((X,A)\) avec \(X\) un ensemble fini non vide, et \(A\) une partie de l’ensemble des paires d’éléments de \(X\). Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(\Gamma\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) l’ensemble des permutations \(\sigma\) de \(X\) telles que \(\forall(x,y)\in X^2\), \(\sigma(x)\sim\sigma(y)\Longleftrightarrow x\sim y\).

1. Montrer que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) est un sous-groupe de \(\mathfrak{S}(X)\).

2. Trouver \(\Gamma\) tel que \(\hbox{Aut}(\Gamma)\) soit isomorphe à \(\mathbf{Z}/3\mathbf{Z}\).

3. Soit \(G\) un groupe fini. Montrer qu’il existe un graphe simple non orienté \(\Gamma\) tel que \(G\) soit isomorphe à \(\hbox{Aut}(\Gamma)\).

   Indication : introduire le graphe orienté dont l’ensemble des sommets est \(G\) et dans lequel, pour tout \((g,h)\in G^2\), il existe une arête de \(h\) à \(gh\) étiquetée par \(g\).

[planches/ex9408] polytechnique MP 2023

1. Soit \(s:\mathbf{R}^*\to\mathbf{R}^*\), \(t\mapsto t^{-1}\). Déterminer le groupe engendré par \(s\).

2. On définit les applications \(s_1:(t,u)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}^*\) et ??

   Montrer que le sous-groupe qu’elles engendrent est isomorphe à \(\mathfrak{S}_3\).

3. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient \(A\) de \((\mathbf{R}^*)^3\) par la relation de colinéarité, la bijection \(f:A\rightarrow(\mathbf{R}^*)^2\) qui associe à la classe de \((x_1,x_2,x_3)\) le couple \((x_1/x_2,x_2/x_3)\), et enfin les permutations de \(A\) induites par \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)\) et \((x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)\).

4. Soit \(n\geqslant 3\). Déterminer le groupe engendré par les bijections \((s_i)_{1\leqslant i\leqslant n}\) de \((\mathbf{R}^*)^n\) définies par \(s_i(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i\times t_{i+1},t_{i+2},\ldots,t_n)\) si \(1<i<n\), \(s_1(t_1,\ldots,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,\ldots,t_n)\) et \(s_n(t_1,\ldots,t_n)=(t_1,\ldots,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})\).

   Indication : Considérer \(f:(\mathbf{R}^*)^{n+1}\to(\mathbf{R}^*)^n\) définie par \(f(t_1,\ldots,t_{n+1})=\displaystyle\left(\frac{t_2}{t_1},\ldots,\frac{t_{n+1}}{t_n}\right)\) et chercher des bijections simples \(s_i'\) de \((\mathbf{R}^*)^{n+1}\) telles que \(s_i\mathbin{\circ} f=f\mathbin{\circ} s_i'\).

[concours/ex2426] ens lyon M 1995 Soient \(n\) et \(m\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(n|m\). Trouver une surjection naturelle de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/m\mathbf{Z})\) vers \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z}/n\mathbf{Z})\).

Indication : on pourra d’abord étudier le cas où \(m\) et \(n\) ont les mêmes diviseurs premiers.

[planches/ex4403] ens paris MP 2019 Soient \(G\) un groupe, \(\delta\in\mathbf{R}_+^*\), \(E_\delta\) l’ensemble des applications \(f\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) telles que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)f(y)|\leqslant\delta\).

1. Montrer que, si \(f\in E_\delta\) n’est pas bornée, alors \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

2. Trouver \(C>0\) tel que, pour toute \(f\in E_\delta\), on ait soit \(\forall x\in G\), \(|f(x)|\leqslant C\), soit \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(xy)=f(x)f(y)\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[ev.algebre/ex1033] Soit \(F=\Bigl\{A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\mid\exists a\in\mathbf{R}^*\quad A=\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\Bigr\}\).

1. Montrer que \((F,{\times})\) est un groupe commutatif.

2. Montrer que \(\varphi:\mathbf{R}^*\rightarrow F\), \(a\mapsto\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\) est un isomorphisme de groupes.

[structures/ex0299] Vrai ou faux ?

Un endomorphisme de groupes est un automorphisme de groupes bijectif.

[ev.algebre/ex1127] Montrer que : \(\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&0&x\\ -x&1&-\displaystyle{x^2\over2}\\0&0&1\end{array}\right)\mid x\in\mathbf{R}\right\}\) est un groupe multiplicatif, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[oraux/ex6535] ens paris MP 2014 Soit \(r\geqslant 1\).

1. Construire un groupe \(\Gamma_r\) engendré par \(r\) éléments \(\gamma_1\), … , \(\gamma_r\) tel que, pour tout groupe \(G\) engendré par \(r\) éléments \(g_1\), … , \(g_r\), il existe un unique morphisme \(p\) surjectif de \(\Gamma_r\) dans \(G\) tel que \(p(\gamma_i)=g_i\) pour tout \(i\). On montrera qu’il est unique à isomorphisme près.

2. Pour \(K\) sous-groupe de \(\Gamma_r\), on note \([\Gamma_r:K]\) le cardinal de \(\Gamma_r/K=\{gK,\ g\in\Gamma_r\}\). Pour \(n\), \(r\geqslant 1\), déterminer le nombre de sous-groupes \(K\) de \(\Gamma_r\) tels que \([\Gamma_r:K]=n\).

[concours/ex7081] mines PSI 2005 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe et \(f\) un endomorphisme de \(G\) tel que : \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(x^2y^3)=x^3y^2\). Montrer que \(G\) est commutatif.

[ensembles/ex0125] Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Z},+)\) dans \((\mathbf{R}^*,\times)\) ?

[fct.reelles/ex2090] Montrer que \(\mathbf{R}\), muni de la loi de composition \(*\) définie par : \[x*y=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2},\] est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[concours/ex6944] ens paris 2004 Soient \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe abélien de \(G\), \(x_1\), … , \(x_n\) des éléments de \(G\) tels que \(G\) soit réunion disjointe des \(x_iH=\{x_in,\ h\in\ H\}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Si \(g\in G\) et \(i\in\{1,\ldots,n\}\), \(gx_i\) s’écrit d’une unique façon \(x_jh\) avec \(1\leqslant j\leqslant n\) et \(h\in H\). On écrit \(j=g.i\) et \(h=h_{i,g.i}\).

On pose alors \(V(g)=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^nh_{i,g.i}\). Montrer que \(V\) est un morphisme de \(G\) dans \(H\) indépendant du choix des \(x_i\).

[planches/ex4618] polytechnique MP 2019

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\).

2. Soit \(P\) l’ensemble des \(z\in\mathbf{C}\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)>0\). Si \(M=\pmatrix{a&b\cr c&d}\) est dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et si \(z\) est dans \(P\), montrer que \(M.z=\displaystyle{az+b\over cz+d}\) est dans \(P\).

3. Montrer que, si \(M\) et \(M'\) sont dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et \(z\) dans \(P\), \(M'.(M.z)=M'M.z\).

4. Soient \(S=\pmatrix{0&-1\cr1&0}\) et \(T=\pmatrix{1&1\cr0&1}\), \(G\) le sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) engendré par \(S\) et \(T\). Montrer que, si \(z\in P\), il existe \(M\in G\) tel que, si \(z'=M.z\), on ait \(|z'|\geqslant 1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z')|\leqslant\displaystyle{1\over2}\).

[complexes/ex0285] Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). En utilisant l’homomorphisme \(\mathbf{U}\rightarrow\mathbf{U}\), \(z\mapsto z^n\), démontrer que le groupe \(\mathbf{U}\) est isomorphe au groupe quotient \(\mathbf{U}/\mathbf{U}_n\).

[structures/ex0301] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(x\) est élément de \(G\), on a : \([f(x)]^{-1}=f(x^{-1})\).

[structures/ex0397] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe.

1. Montrer que l’ensemble des automorphismes de \(G\), muni de la loi \(\mathbin{\circ}\), est un groupe, noté \(\hbox{aut}(G)\).

2. Soit \(H\) un sous-groupe de \(\hbox{aut}(G)\), et : \[\begin{array}{rcl} \varphi:G&\longrightarrow&\mathfrak{P}(G)\\ x&\longmapsto&\{f(x)\mid f\in H\}\ ;\end{array}\] \(\varphi(x)\) est appelé l’orbite de \(x\) sous \(H\). Vérifier que \(\varphi(G)\) est une partition de \(G\).

[oraux/ex3481] ens paris MP 2011 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\), \(G_n=\left\{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lambda_iX^i,\ (\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1})\in\mathbf{C}^{n-1}\hbox{ et }\lambda_1\neq0\right\}\).

1. Si \(P\) et \(Q\) sont dans \(G_n\), montrer qu’il existe un unique \(R\) de \(G_n\) tel que \(R=P\mathbin{\circ} Q\bmod{X^n}\). On note \(R=P\star Q\).

2. Montrer que \((G_n,{\star})\) est un groupe.

3. Déterminer un morphisme surjectif de \(G_n\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).