Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0056] Construire un endomorphisme de \((\mathbf{Z}/4\mathbf{Z},{+})\) dont le noyau et l’image sont \(\{0,2\}\).

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[planches/ex7099] centrale MP 2021 Soit \(G\) un groupe. On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \(G\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Rappeler les définitions d’un groupe et d’un morphisme de groupes. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe.

2. Déterminer \(\widehat G\) dans le cas où \(G=\mathbf{Z}/n\mathbf{Z}\).

[structures/ex0603] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=2^x\).

4. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[concours/ex7319] polytechnique MP 2010 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver tous les morphismes de \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times}\right)\) dans \(\left(\vphantom{|_|}\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},{+}\right)\).

[structures/ex0734] Soit \(f:G\rightarrow H\) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que \(f{}^{-1}:H\rightarrow G\) est aussi un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif.

[oraux/ex3477] ens paris MP 2011 Déterminer les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\).

[ev.algebre/ex0109] Montrer que l’ensemble des homothéties de \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathscr{L} E\).

[oraux/ex6564] ens lyon MP 2016 On munit \(E=\mathbf{Z}^n\) de sa structure de groupe additif : \(a+b=(a_n+b_n)\) si \(a=(a_n)\) et \(b=(b_n)\). On note \(E^*\) l’ensemble des morphismes de groupes de \(E\) dans \(\mathbf{Z}\). On note \(e_k=(\delta_{k,n})_n\).

Montrer que si un élément \(f\) de \(E\) est nul en chaque \(e_k\), alors \(f\) est nulle.

Indication : on pourra considérer des suites du type \((p^na_n)\).

[complexes/ex0281] On munit l’ensemble \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(\mathbf{Q}_+^*,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\) et \(g\in\widehat{\mathbf{Q}}_+^*\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in\mathbf{Q}\)).

Montrer que les groupes abéliens \(\widehat{\mathbf{Q}_+^*}\) et \((\mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z})^\mathbf{N}\) sont isomorphes.

[structures/ex0041] Si \(f\) est une bijection de \(E\) dans \(F\), alors la fonction \[\Phi:u\mapsto f\circ u\circ f{}^{-1}\] est un isomorphisme de \(\mathfrak{S}_E\) dans \(\mathfrak{S}_F\).

[concours/ex6984] mines 2004 Donner deux exemples de groupes d’ordre 9 non isomorphes.

[oraux/ex6540] centrale PC 2014 On munit \(\mathbf{R}^2\) de la loi \(*\) définie par \((x,y)*(a,b)=(x+a,y+b+xa)\).

1. Montrer que \((\mathbf{R}^2,{*})\) est un groupe.

2. Montrer que \(P=\{(x,y)\in\mathbf{R}^2,\ y=x^2\}\) est un sous-groupe de \((\mathbf{R}^2,{*})\).

3. Montrer que \(\Phi:(\mathbf{R},{+})\rightarrow(P,{*})\) qui à \(x\) associe \((x,x^2)\) est un isomorphisme.

[complexes/ex0285] Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). En utilisant l’homomorphisme \(\mathbf{U}\rightarrow\mathbf{U}\), \(z\mapsto z^n\), démontrer que le groupe \(\mathbf{U}\) est isomorphe au groupe quotient \(\mathbf{U}/\mathbf{U}_n\).

[oraux/ex3481] ens paris MP 2011 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\), \(G_n=\left\{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n-1}\lambda_iX^i,\ (\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1})\in\mathbf{C}^{n-1}\hbox{ et }\lambda_1\neq0\right\}\).

1. Si \(P\) et \(Q\) sont dans \(G_n\), montrer qu’il existe un unique \(R\) de \(G_n\) tel que \(R=P\mathbin{\circ} Q\bmod{X^n}\). On note \(R=P\star Q\).

2. Montrer que \((G_n,{\star})\) est un groupe.

3. Déterminer un morphisme surjectif de \(G_n\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[ev.algebre/ex1033] Soit \(F=\Bigl\{A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\mid\exists a\in\mathbf{R}^*\quad A=\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\Bigr\}\).

1. Montrer que \((F,{\times})\) est un groupe commutatif.

2. Montrer que \(\varphi:\mathbf{R}^*\rightarrow F\), \(a\mapsto\left(\begin{array}{cc} a&0\\0&1\end{array}\right)\) est un isomorphisme de groupes.

[planches/ex7512] ens saclay, ens rennes MP 2022 On fixe un corps \(\mathbf{K}\) et on pose \(H=\left\{\pmatrix{1&a&b\cr0&1&c\cr0&0&1},\ (a,b,c)\in\mathbf{K}^3\right\}\).

1. Montrer que \(H\) est un sous-espace affine de dimension 3 de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{K})\).

2. Montrer que \(H\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{K})\), et en déterminer le centre (c’est-à-dire l’ensemble des éléments qui commutent avec tous les éléments de \(H\)).

3. On note \(L=\left\{\pmatrix{0&a&b\cr0&0&c\cr0&0&0},\ (a,b,c)\in\mathbf{K}^3\right\}\).

   On définit \(*\) par \(A*B=A+B+\displaystyle{1\over2}(AB-BA)\) pour \(A\) et \(B\) dans \(L\). Montrer que \((L,{*})\) est un groupe et que l’exponentielle définit un isomorphisme de groupes de \(L\) vers \(H\).

4. Calculer \(A^n\) pour \(A\in H\) et \(n\in\mathbf{N}\).

5. On prend \(\mathbf{K}=\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}\). Montrer que \(H\) est isomorphe au groupe des isométries vectorielles de \(\mathbf{R}^2\) qui stabilisent le carré \(C:=\{(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)\}\).

[concours/ex6944] ens paris 2004 Soient \(G\) un groupe, \(H\) un sous-groupe abélien de \(G\), \(x_1\), … , \(x_n\) des éléments de \(G\) tels que \(G\) soit réunion disjointe des \(x_iH=\{x_in,\ h\in\ H\}\) pour \(1\leqslant i\leqslant n\). Si \(g\in G\) et \(i\in\{1,\ldots,n\}\), \(gx_i\) s’écrit d’une unique façon \(x_jh\) avec \(1\leqslant j\leqslant n\) et \(h\in H\). On écrit \(j=g.i\) et \(h=h_{i,g.i}\).

On pose alors \(V(g)=\mathop{\prod}\limits_{i=1}^nh_{i,g.i}\). Montrer que \(V\) est un morphisme de \(G\) dans \(H\) indépendant du choix des \(x_i\).

[planches/ex4406] ens saclay, ens rennes MP 2019 Soient \(G\) un groupe fini, \(H\) et \(H'\) deux sous-groupes de \(G\). On dit que \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) lorsqu’il existe \(g\in G\) tel que \(H=gH'g^{-1}\).

1. Montrer que si \(H\) et \(H'\) sont conjugués dans \(G\) alors ils sont isomorphes.

2. Donner un contre-exemple à l’implication réciproque.

3. On suppose \(H\) isomorphe à \(H'\).

   1. Vérifier que \(\varphi:g\in G\longmapsto[h\longmapsto gh]\in\mathfrak{S}(G)\) est un morphisme injectif.

   2. Montrer que s’il existe \(\gamma\in\mathfrak{S}(G)\) tel que \(\varphi(H)=\gamma^{-1}\varphi(H')\gamma\) et \(\gamma(1_G)=1_G\), alors \(\gamma\) se restreint à un isomorphisme de \(H\) sur \(H'\).

   3. Montrer qu’il existe un entier \(r\geqslant 1\) et des éléments \(x_1\), … , \(x_r\), \(x'_1\), … , \(x'_r\) de \(G\) tels que \((Hx_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) et \((H'x'_i)_{1\leqslant i\leqslant r}\) partitionnent \(G\).

   4. En déduire que \(\varphi(H)\) et \(\varphi(H')\) sont conjugués dans \(\mathfrak{S}(G)\).

[planches/ex7513] ens lyon MP 2022 On prend pour \(\mathbf{K}\) l’un des corps \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\).

1. Déterminer les éléments de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) qui commutent avec tous les autres.

2. Étant donné \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(\mathbf{P}^n(\mathbf{K})\) l’ensemble quotient de \(\mathbf{K}^{n+1}\setminus\{0\}\) pour la relation de colinéarité entre vecteurs. On choisit un élément \(\infty\) hors de \(\mathbf{K}\). Montrer que l’on définit une bijection de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) sur \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) en associant à la classe de \((a,b)\) le nombre \(\displaystyle{a\over b}\) si \(b\neq0\), et \(\infty\) si \(b=0\).

3. On note \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) le quotient de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) par la relation d’équivalence définie comme suit : \(P\sim Q\Longleftrightarrow\exists\alpha\in\mathbf{K}^*\ :\ P=\alpha Q\). Montrer qu’il existe une unique structure de groupe sur \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) faisant de la projection canonique \(P\longmapsto[P]\) un morphisme de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) dans \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\). On munit \(\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) de cette structure de groupe dans toute la suite de l’énoncé.

4. Montrer que, pour \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) et \(X\in\mathbf{K}^n\), la classe de colinéarité du vecteur \(PX\) ne dépend que de la classe de \(P\) modulo \(\sim\) et de la classe de colinéarité de \(X\). On obtient ainsi une fonction \(\rho:\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\times\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\longrightarrow\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\) envoyant systématiquement le couple \(([P],[X])\) sur \([PX]\). On notera \(g.x:=\rho(g,x)\) pour \(g\in\hbox{PGL}_n(\mathbf{K})\) et \(x\in\mathbf{P}^{n-1}(\mathbf{K})\).

5. Soit \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) représenté par la matrice \(\pmatrix{a&b\cr c&d}\). Montrer que, via l’identification de la question 2 entre \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\) et \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), l’application \(x\longmapsto g.x\) s’identifie à l’homographie \(\rho_g:z\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\longmapsto\displaystyle{az+b\over cz+d}\in\mathbf{K}\cup\{\infty\}\), en convenant que \(\displaystyle{az+b\over cz+d}=\infty\) si \(z\in\mathbf{K}\) et \(cz+d=0\), \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}={a\over c}\) si \(c\in\mathbf{K}^*\), et \(\displaystyle{a\infty+b\over c\infty+d}=\infty\) si \(c=0\).

6. Soit \(a\), \(b\), \(c\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), et \(a'\), \(b'\), \(c'\) des éléments distincts de \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\). Montrer qu’il existe \(g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\) tel que \((a',b',c')=(g.a,g.b,g.c)\).

7. Pour \(x\in\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\), on note \(S_x:=\{g\in\hbox{PGL}_2(\mathbf{K})\ :\ g.x=x\}\). Expliciter \(S_0\), \(S_\infty\), \(S_0\cap S_\infty\) et \(S_0\cap S_\infty\cap S_1\) (avec l’identification précédente entre \(\mathbf{K}\cup\{\infty\}\) et \(\mathbf{P}^1(\mathbf{K})\)).

8. Montrer que, dans le groupe \(\hbox{PGL}_2(\mathbf{C})\), tout élément d’ordre 2 est conjugué à l’élément dont l’homographie associée est \(z\longmapsto-z\).