Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3477] ens paris MP 2011 Déterminer les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\).

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[oraux/ex6505] polytechnique, espci PC 2013 Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[concours/ex1382] centrale MP 1998 Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathbf{Z}/n\mathbf{Z},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[structures/ex0734] Soit \(f:G\rightarrow H\) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que \(f{}^{-1}:H\rightarrow G\) est aussi un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif.

[structures/ex0603] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=2^x\).

4. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[structures/ex0058] Pour chaque fonction \(f\) ci-dessous, déterminer si c’est un endomorphisme du groupe \((\mathbf{R}^*,{\times})\) et, le cas échéant, trouver son noyau et son image.

1. \(f(x)=|x|\).

2. \(f(x)=-x\).

3. \(f(x)=x^2\).

4. \(f(x)=x^3\).

5. \(f(x)=2^x\).

6. \(f(x)=\displaystyle{1\over x}\).

7. \(f(x)=3x\).

8. \(f(x)=\sqrt{|x|}\).

[ev.algebre/ex1127] Montrer que : \(\left\{\left(\begin{array}{ccc} 1&0&x\\ -x&1&-\displaystyle{x^2\over2}\\0&0&1\end{array}\right)\mid x\in\mathbf{R}\right\}\) est un groupe multiplicatif, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[structures/ex0530] Soit \(E\) un ensemble, et \(*\) une opération dans \(E\). On définit \(\overline*\) par : \[\forall(x,y)\in E^2\qquad x\mathbin{\overline*}y=y*x.\]

1. Montrer que \((E,{\overline*})\) peut ne pas être isomorphe à \((E,{*})\).

2. Montrer que, si \((E,{*})\) est un groupe, alors \((E,{\overline*})\) est isomorphe à \((E,{*})\).