Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3614] polytechnique MP 2011 Déterminer tous les endomorphismes continus du groupe \((\mathbf{U},{\times})\).

[planches/ex6625] mines MP 2021 Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex7256] polytechnique, espci PC 2009

1. Quels sont les sous-groupes de \(\mathbf{Z}\) ?

2. Quels sont les automorphismes de \((\mathbf{Z},{+})\) ?

[structures/ex0304] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \(G\) vers \(G'\) et si \(e'\) est le neutre de \(G'\), on a : \(f\) est injectif si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f=\{e'\}\).

[structures/ex0302] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un isomorphisme de groupes alors \(f^{-1}\) est aussi un isomorphisme de groupes.

[planches/ex6395] polytechnique MP 2021 Quels sont les morphismes de \((\mathbf{Q},{+})\) dans \((\mathbf{Q}^*,{\times})\) ?

[structures/ex0300] Vrai ou faux ?

Si \(f\) est un morphisme de groupes de \((G,{\cdot})\) vers \((G',{\cdot})\), si \(e\) est le neutre de \(G\) et \(e'\) le neutre de \(G'\), on a : \(f(e)=e'\).

[structures/ex0734] Soit \(f:G\rightarrow H\) un morphisme de groupes bijectif. Montrer que \(f{}^{-1}:H\rightarrow G\) est aussi un morphisme de groupes, et qu’il est bijectif.

[structures/ex0056] Construire un endomorphisme de \((\mathbf{Z}/4\mathbf{Z},{+})\) dont le noyau et l’image sont \(\{0,2\}\).

[planches/ex3423] mines MP 2018 Soient \(m\), \(n\) deux entiers strictement positifs. Trouver tous les morphismes de groupes de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\) dans \((\mathbf{Z}/m\mathbf{Z},{+})\).