Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5849] centrale MP 2007 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Si \(g\in G\), soit \(\varphi_g\) l’application de \(G\) dans \(G\) telle que : \(\forall x\in G\), \(\varphi_g(x)=gxg^{-1}\).

1. Montrer, si \(g\in G\), que \(\varphi_g\) est un automorphisme de \(G\).

2. Montrer que l’application \(\Phi\) qui à \(g\in G\) associe \(\varphi_g\) est un morphisme de \(G\) dans le groupe \(\hbox{Aut}(G)\) des automorphismes de \(G\). Quel est son noyau ?

3. Donner un exemple où \(\Phi\) n’est pas surjectif.

4. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G=\mathfrak{S}_n\). On note \(\mathscr{A}_n\) le sous-groupe de \(G\) constitué des permutations paires. Montrer que \(\mathscr{A}_n\) est stable par les \(\varphi_g\).

5. On revient au cas général. On pose \(\mathscr{G}=\hbox{Aut}(G)\) et \(\mathscr{H}=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits\Phi\). Si \(\delta\in\mathscr{G}\), \(\mathscr{H}\) est-il stable par \(\varphi_\delta\) ?

[oraux/ex4145] centrale MP 2011 Soit \(G\) un groupe abélien fini. On appelle caractère de \(G\) tout morphisme de groupe \(\chi:G\rightarrow\mathbf{C}^*\). On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des applications de \(G\) dans \(\mathbf{C}\).

1. Soit \(\chi\) un caractère de \(G\). Montrer : \(\forall g\in G\), \(|\chi(g)|=1\).

2. Si \((f,h)\in E^2\), on pose \(\langle f,h\rangle=\displaystyle{1\over|G|}\sum\limits_{g\in G}\overline{f(g)}h(g)\). Vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire.

3. Montrer que, pour tous caractères \(\chi\) et \(\theta\) de \(G\) et tout \(g\in G\), on a \(\langle\chi,\theta\rangle=\overline{\chi(g)}\theta(g)\langle\chi, \theta\rangle\).

4. Montrer que la famille des caractères de \(G\) est orthonormale.

5. Soit \(\widehat G\) l’ensemble des caractères de \(G\). On admet \(|G|=|\widehat G|\). Montrer que les caractères de \(G\) forment une base de \(E\).

[structures/ex0642] Soit \(G\) un groupe non commutatif. Pour \(a\in G\), on note : \[\begin{array}{rcl} f_a:G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\,x\,a^{-1}.\end{array}\] On pose \(G'=\{f_a\mid a\in G\}\).

1. Montrer que \(G'\) est un groupe pour la loi \(\mathbin{\circ}\).

2. Montrer que \(a\mapsto f_a\) est un morphisme de \(G\) sur \(G'\).

[structures/ex0676] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe. On considère l’application : \[f_a\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\cdot x\cdot a^{-1}\end{array}\right.\qquad\hbox{($a\in G$, fixé).}\]

1. Montrer que \(f_a\) est un automorphisme de \(G\).

2. On note : \(I=\{f_a\mid a\in G\}\).

   Montrer que \((I,{\mathbin{\circ}})\) est un groupe où \(\mathbin{\circ}\) est la loi de composition des applications de \(G\) dans \(G\).

3. Soit : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&I\\a&\longmapsto&f_a.\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme de \((G,\,{\cdot}\,)\) dans \((I,{\mathbin{\circ}})\).

[structures/ex0046] Montrer que l’application \(x\mapsto x^{-1}\) est un endomorphisme du groupe \(G\) si et seulement si ce dernier est abélien, et que dans ce cas les applications \(x\mapsto x^k\), où \(k\in\mathbf{Z}\), sont toutes des endomorphismes.

[structures/ex0536] Un sous-groupe strict d’un groupe peut-il être isomorphe au groupe entier ?

[complexes/ex0279] Caractères d’un groupe

Pour chaque groupe \(G\), on munit l’ensemble \(\widehat G=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(G,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \(G\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat G\) et \(g\in\widehat G\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in G\)). Le groupe \(\widehat G\) est appelé groupe des caractères de \(G\).

1. Si \(G\) est cyclique, démontrer que \(\widehat G\) est cyclique et de même cardinal.

2. On suppose \(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_p\) où \(G_k\) est cyclique, de cardinal \(n_k\). Démontrer que \(\widehat G\) est isomorphe à \(\widehat G_1\times\widehat G_2\times\cdots\times\widehat G_p\) et en déduire que \(G\) est isomorphe à \(\widehat G\).

3. Trouver \(\widehat G\) lorsque \(G\) est l’un des groupes suivants :

   1. le groupe du carré ;

   2. le groupe quaternionique ;

   3. le groupe \(\mathfrak{U}_4\) ;

   4. le groupe diédral \(D_n\).

[planches/ex3155] polytechnique MP 2018 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe commutatif fini de cardinal \(N\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Montrer que \(\widehat G\) est fini et que \((\widehat G,{\times})\) est un groupe, où \(\times\) désigne la multiplication entre fonctions de \(G\) dans \(\mathbf{C}\). On note \(N'\) le cardinal de \(\widehat G\).

2. Soit \(\varphi:(u,v)\in\mathbf{C}^N\times\mathbf{C}^N\mapsto\displaystyle\sum\limits_{j=1}^N\overline{u_j}v_j\). Montrer que si \((u^1,u^2,\ldots,u^p)\in(\mathbf{C}^N)^p\) vérifie : \(k\neq\ell\Longleftrightarrow\varphi(u^k,u^\ell)=0\) alors \((u^1,\ldots,u^p)\) est libre.

3. Construire une surjection de \(G\) dans \(\widehat{\widehat G}\) et en déduire que \(N=N'\).

[planches/ex4617] polytechnique MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe abélien fini de cardinal \(n\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe pour la multiplication ordinaire des fonctions.

2. Montrer que, si \(\chi\in\widehat G\) n’est pas le morphisme trivial, \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\chi(g)=0\).

3. Si \(\chi\) et \(\chi'\) sont deux éléments distincts de \(\widehat G\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi(g)}\chi'(g)=0\).

4. Montrer que \(|\widehat G|\leqslant n\).

5. Si \(x\in G\), soit \(\delta_x\) l’élément de \(\widehat{\widehat G}\) défini par \(\forall\chi\in\widehat G\), \(\delta_x(\chi)=\chi(x)\). Montrer que \(x\longmapsto\delta x\) est un isomorphisme de \(G\) sur \(\widehat{\widehat G}\).

6. Quel est le cardinal de \(\widehat G\) ?

[structures/ex0675] Soit \(f\) un morphisme du groupe \((G,{*})\) dans le groupe \((H,{\top})\). On note \(e\) l’élément neutre de \(G\) et \(e'\) celui de \(H\).

1. Montrer que : \[f(e)=e'.\]

2. Montrer que \(f\) est injectif si, et seulement si : \[f^{-1}(\{e'\})=\{e\}.\]