Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0398] Soient \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\), et \(*\) la loi de composition interne définie dans \(\mathbf{R}\) par \(x*y=\sqrt[n]{x^n+y^n}\). En utilisant l’application \(x\mapsto\sqrt[n]x\), montrer que \((\mathbf{R},{*})\) est un groupe, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[oraux/ex6497] ens paris MP 2013 Pour \(p\) premier, on note \(\mathscr{Z}_p=\left\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists k\in\mathbf{N}^*,\ z^{p^k}=1\right\}\).

1. Montrer que \((\mathscr{Z}_p,{\times})\) est un groupe.

2. Déterminer les sous-groupes de \(\mathscr{Z}_p\). Parmi les sous-groupes non triviaux de \(\mathscr{Z}_p\), y en a-t-il un maximal ?

3. Soit \(\varphi:\mathscr{Z}_p\rightarrow G\) un morphisme surjectif, où \(G\) est un groupe arbitraire. Montrer que \(G\) est trivial ou isomorphe à \(\mathscr{Z}_p\).

4. Montrer que la réunion, pour \(p\) premier, des \(\mathscr{Z}_p\) engendre le groupe \(\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists n\in\mathbf{N}^*,\ z^n=1\}\).

[concours/ex6208] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006

1. Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^2,{+})\) sont-ils isomorphes ?

2. Pour quels \((m,n)\in\mathbf{N}^*\) les groupes \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^m,{+})\) sont-ils isomorphes ?

[structures/ex0485] Dans \(\mathbf{R}\), on définit une loi \(*\) par : \[\forall x\in\mathbf{R}\quad\forall y\in\mathbf{R}\quad x*y=\sqrt[3]{x^3+y^3}.\] Vérifier que \((\mathbf{R},{*})\) est un groupe commutatif isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).

[concours/ex6961] ens paris 2004

1. Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbf{Z}^n,{+})\) avec \(n\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(m\in\{0,\ldots,n\}\) tel que \(G\) soit isomorphe à \((\mathbf{Z}^m,{+})\).

2. A quelle condition \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^p,{+})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex6962] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Parmi les groupes additifs \(\mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}^2\), \(\mathbf{Q}\), \(\mathbf{R}\), en est-il d’isomorphes ?

[structures/ex0669] Montrer que \(*\) est une loi interne sur \(\mathbf{R}\) et donner ses propriétés : \[a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3}.\]

[concours/ex7234] ens paris MP 2009 Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes : \((\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) ?

[concours/ex7236] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009 Trouver les groupes dont le groupe des automorphismes est trivial.

[structures/ex0676] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe. On considère l’application : \[f_a\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\cdot x\cdot a^{-1}\end{array}\right.\qquad\hbox{($a\in G$, fixé).}\]

1. Montrer que \(f_a\) est un automorphisme de \(G\).

2. On note : \(I=\{f_a\mid a\in G\}\).

   Montrer que \((I,{\mathbin{\circ}})\) est un groupe où \(\mathbin{\circ}\) est la loi de composition des applications de \(G\) dans \(G\).

3. Soit : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&I\\a&\longmapsto&f_a.\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme de \((G,\,{\cdot}\,)\) dans \((I,{\mathbin{\circ}})\).