Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3705] ens cachan M 1992

1. Soit \(K\) un corps commutatif de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\). Que dire du cardinal de \(G\) ?

2. Étudier l’existence d’isomorphismes entre les groupes suivants : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(K)\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{Q})\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\).

[oraux/ex4180] centrale MP 2011 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\) dans \(G\), on ait : \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien.

2. Montrer qu’il existe \(p\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que toutes les \(pgp^{-1}\), \(g\in G\) soient diagonales.

3. Montrer que \(G\) est fini, majorer son cardinal par une expression ne dépendant que de \(n\).

4. Montrer que si \(m\) est dans \(\mathbf{N}^*\) et \(m\neq n\), les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[concours/ex9609] centrale MP 2006

1. Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie et \(\mathscr{U}\) un ensemble d’endomorphismes diagonalisables de \(E\) qui commutent deux à deux. Montrer l’existence d’une base de \(E\) qui diagonalise tout élément de \(\mathscr{U}\).

2. Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) dont tout élément est de carré \(I_n\). Montrer que \(G\) est commutatif et de cardinal \(\leqslant 2^n\).

3. Montrer que si \(n\) et \(m\) sont distincts, les groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.

[oraux/ex6889] polytechnique MP 2013 Soit \(\mathbf{K}\) un corps de caractéristique différente de 2.

1. Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) tel que \(\forall M\in G\), \(M^2=I_n\). Montrer que \(G\) est abélien, fini et que \(|G|\leqslant 2^n\).

2. Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur \(m\) et \(n\) les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{K})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) sont-ils isomorphes ?

[planches/ex1965] mines MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\in G\), \(g^2=I_n\).

1. Montrer que \(G\) est abélien et que son cardinal est une puissance de 2. Quel est le cardinal maximal d’un tel sous-groupe ?

2. Que peut-on dire de \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) soient isomorphes ?

[planches/ex3441] mines MP 2018

1. Montrer que pour toute famille finie de matrices diagonalisables commutant deux à deux, il existe une base de vecteurs propres communs.

2. Montrer que tout sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) constitué de symétries est abélien. Déterminer le cardinal maximal d’un tel sous-groupe.

3. Est-ce que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_p(\mathbf{C})\) sont isomorphes lorsque \(n\neq p\) ?

[concours/ex7783] ens paris MP 2008

1. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{R},{+})\).

2. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[planches/ex6422] polytechnique MP 2021

1. Soient \(G\) un groupe, \(\chi_1\), … , \(\chi_m\) des morphismes distincts de \(G\) dans \(\mathbf{C}^*\). Montrer que \((\chi_1,\ldots,\chi_m)\) est une famille libre de \(\mathbf{C}^G\).

2. Déterminer les morphismes de groupes continus de \(\mathbf{U}\) dans \(\mathbf{C}^*\).

[concours/ex6967] ens paris 2004

1. Décrire les sous-groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) isomorphes à \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^p,{+}}\right)\) si \((n,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\).

2. Les groupes \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) et \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) sont-ils isomorphes ?

[planches/ex1476] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Déterminer les endomorphismes continus du groupe \((\mathbf{C}^*,{\times})\).