Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex8927] ens paris MP 2016

1. Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{C}^*,{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

2. Déterminer les morphismes continus de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[examen/ex0202] mines PC 2023 Soit \(g:\mathbf{U}\to\mathbf{U}\) une fonction continue telle que : \(\forall z_1\), \(z_2\in\mathbf{U}\), \(g(z_1z_2)=g(z_1)g(z_2)\). Pour \(t\in\mathbf{R}\), on pose \(f(t)=g(e^{it})\).

1. Quelle égalité fonctionnelle vérifie \(f\) ?

2. En introduisant \(F:t\mapsto\displaystyle\int_0^tf(s)\,\mathrm{d}s\), montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

3. Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}\) tel que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(f(t)=e^{i\lambda t}\).

4. Montrer qu’il existe \(n\in\mathbf{Z}\) tel que : \(\forall z\in\mathbf{U}\), \(g(z)=z^n\).

5. Déterminer l’ensemble des fonctions continues \(h:\mathbf{C}^*\to\mathbf{C}^*\) telles que : \[\forall z_1,z_2\in\mathbf{C}^*,\quad h(z_1z_2)=h(z_1)h(z_2).\]

[oraux/ex3526] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\times})\). Parmi les morphismes précédents, déterminer ceux qui sont 1-périodiques.

[planches/ex9588] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(A:\mathbf{R}\to\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) continue telle que \(A(0)=A(1)=I_n\) et \(A(s+t)=A(s)A(t)\) pour tous \(s,t\).

1. Donner des exemples non triviaux de telles applications.

2. Montrer qu’il existe \(P\) inversible et \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\in\mathbf{Z}\) tels que : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad A(t)=P\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(e^{2i\pi\lambda_1t},\ldots,e^{2i\pi\lambda_nt})P^{-1}.\]

[concours/ex7132] tpe MP 2005 Déterminer les morphismes de groupes dérivables de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

[planches/ex8132] mines MP 2022 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(u:\mathbf{R}\longrightarrow\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :

1. \(u\) est un morphisme de groupes de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\),

2. il existe \(A\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t)=e^{tA}\).

[concours/ex9206] centrale MP 2006 Quelles sont les fonctions \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}\) qui sont continues, de période \(2\pi\) et vérifient \(f(x+y)=f(x)f(y)\) pour tous \(x\) et \(y\) réels ?

[planches/ex7956] mines MP 2022

1. Soit \((m,n)\in{\mathbf{N}^*}^2\). Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) sont isomorphes si et seulement si \(m=n\).

2. Généraliser en remplaçant \(\mathbf{C}\) par un corps \(\mathbf{K}\).

[oraux/ex6889] polytechnique MP 2013 Soit \(\mathbf{K}\) un corps de caractéristique différente de 2.

1. Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) tel que \(\forall M\in G\), \(M^2=I_n\). Montrer que \(G\) est abélien, fini et que \(|G|\leqslant 2^n\).

2. Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur \(m\) et \(n\) les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{K})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) sont-ils isomorphes ?

[concours/ex3705] ens cachan M 1992

1. Soit \(K\) un corps commutatif de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\). Que dire du cardinal de \(G\) ?

2. Étudier l’existence d’isomorphismes entre les groupes suivants : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(K)\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{Q})\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\).