Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0843] Pour un champ \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\), définir le rotationnel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}\limits\mathbf{F}\).

[fct.R2/ex0351] \(\mathbf{R}^3\) étant rapporté à \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), on considère un mouvement de trajectoire contenue dans le plan \(xOy\). Montrer que si \((\vec u,\vec v)\) est le repère polaire et \(\vec V\) est le vecteur vitesse du mouvement, nous avons en notant \(\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}=\rho\,\vec u\) : \[\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\wedge\vec V=\rho^2{d\theta\over dt}\,\vec k.\] Que se passe-t-il si le mouvement est à accélération centrale de centre \(O\) ?

[fct.R2/ex0328] Soit le champ de vecteurs défini par \(\vec F(M)=\rho^n\,\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\).

1. Calculer \(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\vec F(M)\). Que peut-on en conclure ?

2. Examiner la cas où \(n=-3\). Donner un potentiel scalaire associé \(U\).

[fct.R2/ex0848] Pour une fonction scalaire \(f(x,y,z)\) de classe \(C^2\), montrer que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\vec0.\]

[fct.R2/ex0845] Calculer la divergence et le rotationnel de \(\mathbf{P}=(x,y,z)\).