Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0320] Montrer que \(\vec V(M)=yz.\vec\imath+zx.\vec\jmath+xy.\vec k\) a une divergence et un rotationnel nuls.

[fct.R2/ex0844] Calculer le rotationnel de \(\mathbf{F}=(yz,zx,xy)\).

[planches/ex7416] imt PC 2021 Soit \(\varphi\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\). On pose, pour \((x,y)\in\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\), \(f(x,y)=\varphi\left(\displaystyle{y\over x}\right)\).

Montrer que la fonction \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}^*\times\mathbf{R}\) et calculer son laplacien \(\Delta f\).

[fct.R2/ex0329] Si \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), on considère le champ de vecteurs : \[\vec V={1\over3\rho}\left({yz\over x^2+y^2}-{yz\over x^2+z^2},{zx\over y^2+z^2}-{zx\over y^2+x^2},{xy\over z^2+x^2}-{xy\over z^2+y^2}\right).\] Montrer que ce champ est un potentiel vecteur du champ \(\vec W=\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho^3}\).

[fct.R2/ex0355] Quelle doit être la force centrale de centre \(O\) appliquée à un point matériel de masse \(m\) pour qu’il décrive un cercle passant par \(O\) ?