Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7068] mines PC 2021 Soient \(R=\pmatrix{a&b\cr c&d}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(r\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^2\) canoniquement associé à \(R\). Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})\), on note \(\Delta f=\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}+{\partial^2f\over\partial y^2}\).

Montrer l’équivalence entre :

1. \(\forall f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})\), \(\Delta(f\mathbin{\circ} r)=(\Delta f)\mathbin{\circ} r\),

2. \(R\in\mathscr{O}_2(\mathbf{R})\).

[fct.R2/ex0842] Calculer la divergence de \(\mathbf{F}(x,y,z)=(xyz^2,x^2yz,-xyz)\).

[planches/ex7173] centrale MP 2021 On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\).

1. Soit \(u:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer que \(\Delta(u\mathbin{\circ} f)=(u''\mathbin{\circ} f)\times\|\nabla f\|^2+(u'\mathbin{\circ} f)\Delta(f)\).

2. Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(f_M:x\mapsto f(Mx)\). Exprimer \(\Delta(f_M)\).

[fct.R2/ex0355] Quelle doit être la force centrale de centre \(O\) appliquée à un point matériel de masse \(m\) pour qu’il décrive un cercle passant par \(O\) ?

[fct.R2/ex0854] Montrer que, si \(f\) et \(g\) sont des fonctions scalaires de classe \(C^2\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,g)=0\).