Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0328] Soit le champ de vecteurs défini par \(\vec F(M)=\rho^n\,\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\).

1. Calculer \(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\vec F(M)\). Que peut-on en conclure ?

2. Examiner la cas où \(n=-3\). Donner un potentiel scalaire associé \(U\).

[fct.R2/ex0849] Pour un champ vectoriel \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\) de classe \(C^2\), montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}=0\).

[planches/ex7173] centrale MP 2021 On munit \(\mathbf{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique. Soit \(f:\mathbf{R}^n\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\).

1. Soit \(u:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\). Montrer que \(\Delta(u\mathbin{\circ} f)=(u''\mathbin{\circ} f)\times\|\nabla f\|^2+(u'\mathbin{\circ} f)\Delta(f)\).

2. Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \(f_M:x\mapsto f(Mx)\). Exprimer \(\Delta(f_M)\).

[fct.R2/ex0848] Pour une fonction scalaire \(f(x,y,z)\) de classe \(C^2\), montrer que : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f=\vec0.\]

[fct.R2/ex0845] Calculer la divergence et le rotationnel de \(\mathbf{P}=(x,y,z)\).

[fct.R2/ex0843] Pour un champ \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\), définir le rotationnel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}\limits\mathbf{F}\).

[fct.R2/ex0854] Montrer que, si \(f\) et \(g\) sont des fonctions scalaires de classe \(C^2\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,g)=0\).

[fct.R2/ex0852] Si \(\mathbf{F}\) et \(\mathbf{G}\) sont deux champs vectoriels; montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathbf{F}\wedge\mathbf{G})=\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{G}.\]

[fct.R2/ex0354] On considère un point matériel de masse \(m\) soumis de la part de l’origine \(O\) d’un repère galiléen à la force centrale \(\vec F=\displaystyle{Km\over\rho^3}\,\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur radial. On admettra qu’à l’origine \(t=0\), \(\theta(0)=0\), \(\rho(0)=a\), \(\displaystyle{d\rho\over dt}(0)=0\) et \(\vec V=V_0\,\vec v\).

1. Montrer que la constante des aires est ici \(c=aV_0\).

2. Déterminer une équation différentielle en \(\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à la variable \(\theta\) vérifiée par le mouvement. Résoudre cette équation différentielle en discutant selon le signe de \(K+c^2\).