Édition de feuilles d'exercices

[fct.R2/ex0354] On considère un point matériel de masse \(m\) soumis de la part de l’origine \(O\) d’un repère galiléen à la force centrale \(\vec F=\displaystyle{Km\over\rho^3}\,\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur radial. On admettra qu’à l’origine \(t=0\), \(\theta(0)=0\), \(\rho(0)=a\), \(\displaystyle{d\rho\over dt}(0)=0\) et \(\vec V=V_0\,\vec v\).

1. Montrer que la constante des aires est ici \(c=aV_0\).

2. Déterminer une équation différentielle en \(\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à la variable \(\theta\) vérifiée par le mouvement. Résoudre cette équation différentielle en discutant selon le signe de \(K+c^2\).

[fct.R2/ex0854] Montrer que, si \(f\) et \(g\) sont des fonctions scalaires de classe \(C^2\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,f\wedge\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{grad}}{\hbox{grad}}{\mathrm{grad}}{\mathrm{grad}}}}\limits\,g)=0\).

[fct.R2/ex0351] \(\mathbf{R}^3\) étant rapporté à \((O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)\), on considère un mouvement de trajectoire contenue dans le plan \(xOy\). Montrer que si \((\vec u,\vec v)\) est le repère polaire et \(\vec V\) est le vecteur vitesse du mouvement, nous avons en notant \(\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}=\rho\,\vec u\) : \[\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\wedge\vec V=\rho^2{d\theta\over dt}\,\vec k.\] Que se passe-t-il si le mouvement est à accélération centrale de centre \(O\) ?

[fct.R2/ex0843] Pour un champ \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\), définir le rotationnel \(\mathop{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}\limits\mathbf{F}\).

[fct.R2/ex0329] Si \(\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\), on considère le champ de vecteurs : \[\vec V={1\over3\rho}\left({yz\over x^2+y^2}-{yz\over x^2+z^2},{zx\over y^2+z^2}-{zx\over y^2+x^2},{xy\over z^2+x^2}-{xy\over z^2+y^2}\right).\] Montrer que ce champ est un potentiel vecteur du champ \(\vec W=\displaystyle{\mathchoice{\overrightarrow{OM}}{\overrightarrow{OM}}{\scriptstyle \overrightarrow{\scriptstyle OM}}{\scriptscriptstyle \overrightarrow{\scriptscriptstyle OM}}\over\rho^3}\).

[fct.R2/ex0853] Soit \(\mathbf{P}=(x,y,z)\). Pour toute fonction \(f(u)\), montrer : \[\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\left(f(\|\mathbf{P}\|)\,\mathbf{P}\vphantom{()_|}\right)=\vec0.\]

[fct.R2/ex0849] Pour un champ vectoriel \(\mathbf{F}(x,y,z)=\left(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z)\vphantom{1^2_2}\right)\) de classe \(C^2\), montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}=0\).

[fct.R2/ex0353] On considère une planète \(\mathscr{P}\) (assimilée ici à un point matériel de masse \(m\)) soumise à l’attraction du soleil (assimilé à un point fixe \(O\) de masse \(M\)). Si \(G\) est la constante de gravitation universelle, la force centrale de centre \(O\), appliquée à la planète \(\mathscr{P}\), est \(\vec F=-\displaystyle{GMm\over\rho^2}\,\vec u\), où \(\vec u\) est le vecteur radial.

Déterminer une équation différentielle en \(\displaystyle{1\over\rho}\) par rapport à la variable \(\theta\) vérifiée par le mouvement de \(\mathscr{P}\). Résoudre cette équation différentielle.

[fct.R2/ex0852] Si \(\mathbf{F}\) et \(\mathbf{G}\) sont deux champs vectoriels; montrer que : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{div}}{\hbox{div}}{\mathrm{div}}{\mathrm{div}}}\limits(\mathbf{F}\wedge\mathbf{G})=\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{F}\cdot\mathbf{G}-\mathbf{F}\cdot\mathop{\vec{\mathchoice{\hbox{rot}}{\hbox{rot}}{\mathrm{rot}}{\mathrm{rot}}}}\limits\,\mathbf{G}.\]

[planches/ex7068] mines PC 2021 Soient \(R=\pmatrix{a&b\cr c&d}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et \(r\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^2\) canoniquement associé à \(R\). Pour toute fonction \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})\), on note \(\Delta f=\displaystyle{\partial^2f\over\partial x^2}+{\partial^2f\over\partial y^2}\).

Montrer l’équivalence entre :

1. \(\forall f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}^2,\mathbf{R})\), \(\Delta(f\mathbin{\circ} r)=(\Delta f)\mathbin{\circ} r\),

2. \(R\in\mathscr{O}_2(\mathbf{R})\).