Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0810] mines MP 1997 Soit l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-f(x)y=g(x)\) avec \(f\), \(g\in\mathscr{C}([a,b],\mathbf{R})\) et \(f\geqslant 0\).

1. Montrer qu’il existe au plus une solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\).

2. Montrer qu’il existe deux solutions \(u\) et \(v\) de \(y''-f(x)y=0\) vérifiant les conditions \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).

3. Montrer qu’il existe une unique solution de \((E)\) s’annulant en \(a\) et en \(b\) et l’exprimer à l’aide de \(u\) et \(v\).

[planches/ex4986] mines MP 2019 Soient \(u\) une fonction continue et intégrable de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\), \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+(1+u)y=0\). Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(g(x)=f(x)+\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)u(t)f(t)\,dt\).

1. Former une équation différentielle linéaire vérifiée par \(g\).

2. Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|f(x)|\leqslant c+\displaystyle\int_0^x|u(t)f(t)|\,dt\).

3. Montrer que \(f\) est bornée.

[oraux/ex3119] centrale PC 2010 Soient \(I\) un intervalle ouvert non vide de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R}_+)\) et \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Soient \((E_1)\) : \(y''-a(x)y=0\) et \((E_2)\) : \(y''-a(x)y=b(x)\).

1. Soit \(y\) une solution de \((E_1)\). On suppose qu’il existe \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\) tel que \(y(x_1)=y(x_2)=0\). Calculer \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}y(x)^2a(x)\,dx\). Que dire de \(y\) ?

2. Soient \((x_1,x_2)\in I^2\) avec \(x_1<x_2\).

   1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E_2)\) telle que \(y_1(x_1)=0\) et \(y_1'(x_1)=1\).

   2. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_2\) de \((E_2)\) telle que \(y_2(x_1)=y_2(x_2)=0\).

[oraux/ex3009] ens PC 2009 Soient \((p,q)\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) avec \(q\leqslant 0\) et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). Soit \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) de \((E)\) telle que \(f(0)=a\) et \(f(1)=b\).

[planches/ex2137] mines MP 2017 Soient \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(f\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \((a,b)\in\mathbf{R}^2\). Montrer qu’il existe une unique fonction \(y\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\) telle que \(y''-qy=f\) et \((y(0),y(1))=(a,b)\).

[planches/ex1026] centrale PSI 2014 Soient \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(a<b\) et \(f\), \(g\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\). On suppose \(f>0\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(y''-fy=g\).

1. Montrer que l’équation homogène associée à \((E)\) possède deux solutions \(u\) et \(v\) caractérisées par : \(u(a)=0\), \(u'(a)=1\) et \(v(b)=0\), \(v'(b)=1\).

2. Montrer que \((E)\) possède au plus une solution s’annulant en \(a\) et en \(b\).

   Indication : Considérer \(y_1\) et \(y_2\) deux telles solutions et \(h=y_2-y_1\). Remarquer que \(h^2\) est convexe.

3. Montrer que \((E)\) possède une solution s’annulant en \(a\) et \(b\) et en donner une expression en fonction de \(u\), \(v\), \(f\) et \(g\).

[planches/ex1057] mines MP 2015 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f\leqslant 0\).

1. Soit \(z\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) telle que \(z''+fz=0\). Étudier la convexité de \(z^2\).

2. Montrer que le problème \(y''+fy=g\), \(y(a)=y(b)=0\) possède une et une seule solution.

[oraux/ex3149] polytechnique, espci PC 2011 Soient \(I\) un intervalle ouvert de \(\mathbf{R}\), \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\).

1. Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \((E)\) sont isolés.

2. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions non nulles de \((E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont un zéro commun. Montrer que \(f\) et \(g\) sont proportionnelles.

3. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions linéairement indépendantes de \((E)\). Montrer qu’entre deux zéros consécutifs de \(f\) il y a exactement un zéro de \(g\).

[concours/ex2124] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 Soient \(f\) et \(g\) solutions réelles non nulles de \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\), \(a\) et \(b\) étant des fonctions réelles continues. Montrer qu’entre deux zéros de \(f\) il y a exactement un zéro de \(g\).

[oraux/ex2884] centrale MP 2005

1. Soient \(a\), \(b\), \(c\) trois fonctions de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur un intervalle \(I\) de \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation \(ay''+by'+cy=0\) admet-elle deux solutions \(y_1\) et \(y_1\) vérifiant \(y_1y_2=1\) ?

2. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \((x-1)y''(x)+xy'(x)-4y(x)=0\). Montrer que la condition précédente est réalisée. Étudier les solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex4988] mines MP 2019 Soit \(q\) une fonction continue de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), \(y\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^2\) de \([0,1]\) dans \(\mathbf{R}\), non identiquement nulle, telle que \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(y\) est fini.

[planches/ex4013] centrale PC 2018 (avec Python)

Soit \((E)\) : \(x''(t)+p(t)x'(t)+q(t)x(t)=0\).

1. On prend \(p(t)=\displaystyle{t\over1+t^2}\) et \(q(t)=\displaystyle{-1\over1+t^2}\). Ainsi \((E)\) devient \((1+t^2)x''+tx'-x=0\).

   1. Représenter sur \([0,5]\) les solutions \((f,g)\) de \((E)\) vérifiant \((f(0),f'(0))=(1,0)\) et \((g(0),g'(0))=(0,1)\).

   2. En déduire une solution évidente.

   3. Montrer que \(g\) est développable en série entière au voisinage de 0.

      On a \(g(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}c_nt^{2n}\). Trouver une relation de récurrence entre les \(c_n\) et en déduire \(g\).

   4. Montrer que \((E)\) possède deux solutions inverses l’une de l’autre.

2. On suppose maintenant que \((E)\) admet deux solutions \(u\) et \(v\) avec \(v=1/u\). Exprimer \(p\) et \(q\) en fonction de \(u\). En déduire une relation entre \(p\) et \(q\).

[planches/ex1101] mines MP 2016 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues d’un segment \([u,v]\) de \(\mathbf{R}\) à valeurs réelles \(\mathbf{R}\). Soit \(f:[u,v]\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de l’équation différentielle \(y''+a(x)y'+b(x)y=0\). Montrer que \(f\) admet un nombre fini de zéros.

[concours/ex3297] ens cachan M 1993 Soit \(y\) une solution non nulle d’une équation différentielle linéaire à coefficients continus \((e)\) : \(y''+ay'+by=0\). Montrer que si \(y\) s’annule au moins deux fois, il existe \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(y\) s’annule en \(\alpha\) et en \(\beta\) mais ne s’annule pas sur \(\left]\alpha,\beta\right[\). Montrer que si \(z\) est une solution de \((E)\) indépendante de \(y\), \(z\) s’annule une fois et une seule entre \(\alpha\) et \(\beta\).

[planches/ex1022] centrale MP 2014 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) non vide et non réduit à un point, \(p\), \(q:I\rightarrow\mathbf{R}\) continues et \((E)\) : \(y''+py'+qy=0\). On suppose \(q\neq0\). On étudie l’existence de deux solutions, notées \(y_1\) et \(y_2\) de \((E)\), inverses l’une de l’autre, c’est-à-dire que \(y_1y_2=1\).

1. Si \(p\) et \(q\) sont constantes, donner une condition suffisante d’existence.

2. On considère \((E_1)\) : \(y''+\displaystyle{y'\over x}-{y\over4x^2}=0\) sur \(\left]1,+\infty\right[\) et \((E_2)\) : \(y''-\displaystyle{y'\over x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}-y{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)^2\over4}=0\) sur \(\mathbf{R}_+^*\). Trouver pour \((E_1)\) puis pour \((E_2)\) un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

   On revient à l’équation générale \((E)\) et on suppose qu’elle admet un couple de solutions inverses l’une de l’autre \((y_1,y_2)\). On note \(W\) le wronskien de \((y_1,y_2)\).

3. Montrer que \(y_1\) et \(y_2\) sont linéairement indépendantes. Qu’en déduit-on pour \(W\) ?

4. Exprimer \(W\) en fonction de \(y_1\).

5. Montrer que \(W'+pW=0\).

6. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((p,q)\) pour que \((E)\) possède un couple de solutions inverses l’une de l’autre.

[planches/ex1053] polytechnique, espci PC 2015 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe \(f\) et \(g\) solutions de \((E)\) telles que \(fg=1\).

[planches/ex1038] ens MP 2014 Soient \(k\in\mathbf{N}\) et l’équation différentielle \((1-t^2)x''-2tx'+k(k+1)x=0\).

1. Montrer que cette équation admet une solution \(x_k\) non nulle, sur \(\mathbf{R}\).

2. Montrer que toute solution de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \([-1,1]\) est proportionnelle à \(x_k\).

[equadiff/ex0093] Soient \(a(t)\) et \(b(t)\) deux fonctions continues sur \(I\) et \[(E)\quad x''+a(t)x'+b(t)x=0\,.\] Montrer que, si \(u(t)\) est une solution non identiquement nulle de \((E)\), le nombre de zéros de \(u\) sur tout segment inclus dans \(I\) est fini.

Indication : on montrera que les zéros de \(u\) sont isolés.

[planches/ex1060] centrale MP 2015 On considère l’équation différentielle \[(E_1)\ :\quad x''+p(t)x'+q(t)x=0.\]

1. Soient \(u_1\) et \(u_2\) deux solutions de \((E_1)\) telles que \(u_1u_2=1\). On pose \(z_i=\displaystyle{u'_i\over u_i}\). Montrer que les \(z_i\) sont deux solutions opposées d’une équation différentielle non linéaire \((E_2)\).

2. En déduire une condition néessaire et suffisante sur \(p\) et \(q\) pour que \((E_1)\) admette deux solutions \(u_1\) et \(u_2\) telles que \(u_1u_2=1\).

3. Résoudre \((1+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4t))x''-2\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(4t)x'-8x=0\).

[concours/ex2465] ens lyon M 1995 Soient \(f\) et \(g\) deux applications continues et bornées de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On considère l’équation différentielle \((E)\) : \(x''+f(t)x'+g(t)x=0\) et les conditions initiales \((CI)\) : \(x(0)=\alpha\), \(x'(0)=\beta\).

1. Montrer qu’il existe une unique fonction \(u\) définie sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((E)\) et \((CI)\).

   Montrer que l’espace \(\mathscr{S}\) des solutions de \((E)\) définies sur \(\mathbf{R}\) est de dimension \(2\).

2. Soient \(x_1\) et \(x_2\) dans \(\mathscr{S}\). On pose \(w(t)=x_1(t)x'_2(t)-x_2(t)x'_1(t)\). Montrer que \(w\) est la fonction nulle ou ne s’annule jamais.

3. Soit \((x_1,x_2)\) une base de \(\mathscr{S}\) \(t_1<t_2\) deux zéros consécutifs de \(x_1\). Montrer qu’il existe un unique zéro de \(x_2\) sur \(\left]t_1,t_2\right[\).

4. On suppose \(f=0\) et \(g\leqslant 0\). Montrer qu’un élément de \(\mathscr{S}\) s’annule au plus une fois.

[planches/ex3378] polytechnique, espci PC 2018 Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Montrer qu’il existe deux solutions \(f\), \(g\) de \(E\) vérifiant \(fg=1\) si et seulement si \(b\) est de classe \(\mathscr{C}^1\), \(b\leqslant 0\) et \(b'=-2ab\).

[oraux/ex4921] ens paris MP 2012 Soit \(f \in{\cal C}^0(\mathbf{R}^+ ,\mathbf{R})\) telle que \(1-f\) soit intégrable. Montrer que pour tout \((\alpha_1,\alpha_2)\in \mathbf{C}^2\), il existe une solution \(x\) de l’équation différentielle \(x''+f(t)\,x=0\) telle que la fonction \(t \mapsto x(t)-\alpha_1 e^{it}-\alpha_2 e^{-it}\) ait une limite nulle en \(+\infty\).

[planches/ex0963] centrale PSI 2013 Soient \(I\subset\mathbf{R}\) un intervalle, \(A\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(B\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+Ay'+By=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(\forall x\in I\), \(y_2(x)=xy_1(x)\).

[concours/ex0100] polytechnique MP 1996 Soit \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\) et \(A\) (resp. \(B\)) une application \(C^1\) (resp. \(C^0\)) de \(I\) dans \(\mathbf{R}\). Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l’équation différentielle \(y''+A(x)y'+B(x)y=0\) admette deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) telles que \(y_2=xy_1\).

Résoudre \(y''+2xy'+(1+x^2)y=xe^{-x^2/2}\).

[concours/ex5307] ens paris MP 2007 Soient \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\) et \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) strictement croissante telles que \(f''+gf=0\).

1. Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est mas majoré.

2. Montrer que \(f\) est bornée au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex6387] ens lyon PC 2021 Pour \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), on pose \(W=\left|\matrix{\varphi_1&\varphi'_1\cr\varphi_2&\varphi'_2}\right|\).

1. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soient \(\varphi_1\) et \(\varphi_2\) deux solutions de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Que dire de la fonction \(W\) ?

2. Soient \(q_1\) et \(q_2\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). Soit \(\varphi_1\) une solution de \(y''+q_1y=0\) et \(\varphi_2\) une solution de \(y''+q_2y=0\). Calculer \(W'\).

3. Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). On suppose que \(q\) est minorée par un réel strictement positif \(\alpha\). Montrer que toute solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\) s’annule une infinité de fois.

[equadiff/ex0106] On considère l’équation \(x''+q(t)x=0\) où \(q\) est une fonction de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}\), strictement positive et croissante.

Montrer que toutes les solutions de l’équation sont bornées sur \(\mathbf{R}\).

[concours/ex6044] centrale MP 2007 Soient \(m\in\mathbf{R}_+^*\) et \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telle que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(q(t)\geqslant m\). On note \((E)\) l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Soit \(f\) une solution non nulle de \((E)\).

1. Montrer qu’il existe \(p\), \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^1\) avec \(p>0\) telles que \(f=p\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits g\) et \(f'=p\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits g\).

2. Exprimer \(g'\) en fonction de \(g\) et \(q\).

3. En déduire que \(g\) est un \(C^1\)-difféomorphisme de \(\mathbf{R}_+\) sur \(g(\mathbf{R}_+)\).

4. Montrer que \(f\) s’annule une infinité de fois.

[planches/ex0925] ens PC 2013 Soient \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telle que \(f(x)\rightarrow\ell>0\) quand \(x\rightarrow+\infty\), et \((*)\) : \(y''+fy=0\). Soit \(y:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) solution de \((*)\) telle que \(y(0)=0\).

1. Que dire si \(y'(0)=0\) ?

2. On suppose \(y'(0)>0\). Montrer qu’il existe \(t>0\) tel que \(y'(t)=0\).

3. Montrer que \(y\) a une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex3050] centrale MP 2009 Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(a\in\mathscr{C}^1(I,\mathbf{R})\), \(b\in\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((H)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\).

1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur \(a\) et \(b\) pour qu’il existe deux solutions \(y_1\) et \(y_2\) de \((H)\) telles que \(x_2=xy_1\) et \(y_1\neq0\).

2. Déterminer alors toutes les solutions de \((H)\).

[planches/ex3693] mines PSI 2018

1. Soit \(y:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^1\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue et \(c\in\mathbf{R}\) tels que \(\forall x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c+\displaystyle\int_a^x\varphi(t)y(t)\,dt\).

   Montrer que, pour tout \(x\in[a,b]\), \(y(x)\leqslant c\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_a^x\varphi(t)\,dt\right)\).

2. Soit \(q\) une fonction de classe \(\mathscr{C}^1\) de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+^*\), croissante, et \(f\) une solution de l’équation \(f''+qf=0\). Montrer que \(f\) est bornée.

[concours/ex2908] centrale M 1994 Soient \(I\) un intervalle réel, \(p\) et \(q\) des applications continues définies sur \(I\) et à valeurs réelles. Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\). Trouver une condition portant sur les fonctions \(p\) et \(q\) pour que \((E)\) admette sur \(I\) deux solutions \(u\) et \(v\) non nulles telles que pour tout \(x\), on ait : \(v(x)=xu(x)\).

Application : résoudre, sur \(\left]0,+\infty\right[\), puis sur \(\left[0,+\infty\right[\), l’équation : \[x^2y''+x(1-2x)y'+\left(x^2-x-{1\over4}\right)y=x^{5/2}.\]

[planches/ex7278] centrale PC 2021

1. Soit \(g\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\) telle que \(g''\leqslant 0\).

   Montrer que, pour tout \((t_0,t)\in\mathbf{R}^2\), \(g(t)\leqslant g(t_0)+(t-t_0)g'(t_0)\).

2. Soit \(a>0\). Soit \(q\) une fonction continue de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(q(t)\geqslant a\). Soit \(f\) une solution de l’équation différentielle \(y''+qy=0\). Montrer que l’ensemble des zéros de \(f\) n’est pas majoré.

[oraux/ex5532] mines PC 2012 Soient \(\varphi\in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R}^{+*})\) croissante et \((E)\) l’équation \((E)\) : \(x''(t)+\varphi(t)\, x(t)=0\). Montrer que \(x\) est bornée.

Indication : On multipliera par \(x'/\varphi\).

[oraux/ex2949] ens paris MP 2008 Soit \(g\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+^*,\mathbf{R}_+^*)\). On suppose qu’il existe \(m>0\) tel que \(g\geqslant m\). Soit \(f:\mathbf{R}_+^*\rightarrow\mathbf{R}\) une solution non nulle de : \(y''+gy=0\).

1. Montrer que \(f\) admet une infinité de zéros.

2. On suppose \(g\) croissante. Montrer que \(f\) est majorée au voisinage de \(+\infty\).

[concours/ex4064] polytechnique P 1990 Conditions nécessaires et suffisantes sur les fonctions \(p\) et \(q\), supposées continues sur \(\mathbf{R}\), pour que l’équation différentielle \[x''+p(t)x'+q(t)x=0\] admette deux solutions, \(x_1\) et \(x_2\), telles que :

1. \(\forall t\in\mathbf{R}^*\quad x_1(t)\neq0\) ;

2. \(\forall t\in\mathbf{R}\quad x_2(t)=tx_1(t)\).

[oraux/ex3153] mines MP 2011 Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''=(x^4+1)y\).

1. Montrer que cette équation possède une unique solution \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. Montrer que \(g=f^2\) est convexe.

3. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/g\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

5. Montrer que \(x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over g(t)}\) est également solution de \((E)\).

[oraux/ex3141] polytechnique MP 2011 Soit \(f\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) de limite nulle en \(+\infty\) et de dérivée intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que toutes les solutions de l’équation différentielle \(y''+(1+f(t))y=0\) sont bornées sur \(\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex2901] centrale PSI 2005 Soit \(E\) l’ensemble des \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)-(1+x^4)f(x)=0\).

1. Montrer que \(E\) contient une unique fonction \(f_0\) telle que \(f_0(0)=1\) et \(f_0'(0)=1\).

2. Montrer que \(f_0^2\) est convexe.

3. Montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}_+\), \(f_0(t)\geqslant 1\).

4. Montrer que \(1/f_0^2\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(f_1:x\in\mathbf{R}_+\mapsto f_0(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f_0^2(t)}\).

5. Montrer que \(f_1\in E\).

6. Montrer que \(f_1'\geqslant 0\) et que \(f_1\) est bornée.

7. Quels sont les éléments bornés de \(E\) ?

[planches/ex1114] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \[(1)\quad y''=(1+x^4)y.\]

1. Montrer que \((1)\) possède une unique solution \(y\) telle que \(y(0)=y'(0)=1\).

2. Soit \(f\) une solution de \((1)\). On suppose \(\displaystyle{1\over f^2}\) intégrable. Montrer que \(x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{1\over f^2(t)}\,dt\) est également solution de \((1)\) (?).

3. Montrer que si \(f\) solution de \((E)\) vérifie \(f(0)=f'(0)=1\) alors \(\displaystyle{1\over f^2}\) est intégrable.

[oraux/ex5086] polytechnique MP 2012

1. Soient \(y \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R})\), \(a\in\mathbf{R}^+\), \(g \in{\cal C}^0( \mathbf{R}^+,\mathbf{R}^+)\) et \(G : t \mapsto \displaystyle\int_0^t g(s)\,ds\). On suppose que \(\forall t \in \mathbf{R}^+\), \(y(t) \leqslant a+\displaystyle\int_0^t y(s)\,g(s)\,ds\). Montrer que \(\forall t \in \mathbf{R}^+, \; y(t) \leqslant a \,e^{G(t)}.\)

2. Soit \(f \in{\cal C}^1(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\) de limite \(1\) en \(+\infty\) et dont la dérivée est intégrable sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(h\) une solution maximale de l’équation différentielle \(x''(t)+f(t)\,x(t)=0\). Montrer que \(h\) et \(h'\) sont bornées.

[planches/ex8628] centrale PSI 2022 (avec Python)

Soit \(q:\mathbf{R}_+\longrightarrow\mathbf{R}\) continue. On s’intéresse à l’équation différentielle \((E_{a,b})\) : \(y''+(1+q)y=0\), \(y(0)=a\), et \(y'(0)=b\).

1. Tracer avec Python les solutions pour \((a,b)\in\{(1,0),(0,1)\}\) et pour les fonctions \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over\sqrt{1+t}}\), \(q:t\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\left(\displaystyle{1\over t}\right)\), \(q:t\longmapsto\displaystyle{1\over1+t^2}\). et \(q:t\longmapsto\displaystyle{-t^2\over2(1+t^2)}\). On tracera ces solutions sur l’intervalle \([0,50]\).

   Pour quelles fonctions \(q\) la solution semble-t-elle bornée ?

2. On suppose dans cette question que \(q\) est intégrable sur \(\mathbf{R}_+\).

   Soit \(z:x\longmapsto\displaystyle\int_0^x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x-t)f(t)\,dt\) avec \(f\) continue, intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(z''+z\).

3. Soit \(y\) une solution de \((E_{a,b})\).

   Montrer que, pour \(t\in\mathbf{R}_+\), \(0\leqslant|y(t)|\leqslant|a|+|b|+\displaystyle\int_0^x|q(t)|\,|y(t)|\,dt\).

   En déduire que \(y\) est bornée.

4. La condition \(q\) intégrable est-elle suffisante/nécessaire pour que les solutions de \((E_{a,b})\) soient bornées ?

[planches/ex1115] centrale PSI 2016 On considère l’équation différentielle \(y''=x^4y\) (?).

1. Montrer qu’il existe une unique solution \(f\) telle que \(f(0)=f'(0)=1\).

2. On admet que \(1/f^2\) est définie et intégrable sur \(\mathbf{R}_+\). Montrer que \(g:x\mapsto f(x)\displaystyle\int_x^{+\infty}{dt\over f(t)^2}\) est aussi solution de l’équation étudiée.

3. Montrer le résultat admis dans la question précédente.

[concours/ex5477] polytechnique MP 2007 Soient \(f\in\mathscr{C}^1(\left]0,+\infty\right[,\mathbf{R})\) et \(g\) une solution de \((E)\) : \(y''+fy=0\), non identiquement nulle.

1. Montrer que les zéros de \(g\) sont isolés. Dans la suite, \(x_1\) et \(x_2\) sont deux zéros consécutifs de \(g\) vérifiant \(x_1<x_2\).

2. Montrer, si \(x\in[x_1,x_2]\) : \[\hskip-1cm(x_2-x)\int_{x_1}^x(t-x_1)f(t)g(t)\,dt+ (x-x_1)\int_x^{x_2}(x_2-t)f(t)g(t)\,dt =(x_2-x_1)g(x).\]

3. En déduire une minoration de \(\displaystyle\int_{x_1}^{x_2}|f(t)|\,dt\).

[oraux/ex5392] mines MP 2012 Soit \(f\,:\;\mathbf{R}^{+*}\to\mathbf{R}\) continue. On considère l’équation différentielle \((E)\) \(y''=f\,y\).

1. Montrer que les zéros des solutions non nulles sont isolés.

2. Soient \(\alpha\) et \(\beta\) deux zéros consécutifs d’une solution non nulle de \((E)\). Montrer : \[\int_\alpha^\beta\left|f(t)\right|\,dt>\frac4{\beta-\alpha}.\]

[planches/ex1018] mines PSI 2014 Soient \(a\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+a(x)y=0\).

1. Montrer que les wronskiens relatifs à \((E)\) vérifient une équation différentielle du premier ordre.

2. Soit \(T>0\). Montrer que les trois énoncés suivants sont équivalents :

   1. \((E)\) possède un wronskien \(T\)-périodique ;

   2. tous les wronskiens de \((E)\) sont périodiques ;

   3. la fonction \(a\) est \(T\)-périodique de valeur moyenne nulle.

[planches/ex1074] tpe PSI 2015 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(\Phi:E\rightarrow E\) qui à \(f\) associe \(g\) telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(g(x)=f'(x)-xf(x)\). Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\). Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\), puis \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\Phi\mathbin{\circ}\Phi\).

[oraux/ex2942] centrale PC 2006 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et, pour \(f\in E\), \(\mu(f)\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in\mathbf{R},\quad\mu(f)(x)=f'(x)-xf(x).\]

1. Montrer que \(\mu\) est un endomorphisme de \(E\), déterminer son noyau.

2. L’application \(\mu\) est-elle surjective ?

3. Si \(g\in E\), déterminer \(\mu^{-1}(g)\).

4. Déterminer \(\mu\mathbin{\circ}\mu\).

5. Résoudre : \(y''-2xy'+(x^2-1)y=0\).

6. Si \(n\in\mathbf{N}^*\), résoudre \(\mu^{(n)}(f)=0\).

[oraux/ex2970] mines PSI 2008 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(p\in\mathscr{C}^0([a,b],\mathbf{R})\) et \(k\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que la seule solution de l’équation différentielle \(y''+p(x)y'-ky=0\) satisfaisant la condition \(y(a)=y(b)=0\) est la solution nulle.

[oraux/ex3075] ens lyon MP 2010 Soient \(q\) une application continue périodique et non identiquement nulle de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}_+\), \(y\) une solution de \(y''+qy=0\). Montrer que \(y\) s’annule une infinité de fois.