Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3097] mines PC 2010 Soient \(a\), \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((f,g)\) un système fondamental de solutions de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\). On suppose \(f\) paire et \(g\) impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) est paire.

[planches/ex9271] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2023 Soit \(p:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) une fonction continue, non identiquement nulle, \(\pi\)-périodique et telle que \(\displaystyle\int_0^{\pi}p(t)\mathrm{d} t \geqslant 0\) et \(\displaystyle\int_0^\pi |p(t)| \mathrm{d} t\leqslant\frac{\pi}{4}\).

Montrer que l’équation \(u''+pu=0\) n’admet pas de solution \(u\) non nulle sur \(\mathbf{R}\) telle qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) tel que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t+\pi)=\lambda\, u(t).\)

[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).

1. Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).

2. Calculer le déterminant de \(A\).

3. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).

4. On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).

5. On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).

   Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).

[concours/ex3236] mines M 1993 Soit \(u\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) et \(f\) une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}_+\). On suppose qu’il existe une constante \(A\) telle que, pour tout \(x\) de \(\mathbf{R}_+\), \[u(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)u(t)\,dt.\] Montrer que \[u(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_0^xf(t)\,dt\right).\] Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+y(1+g(t))=0\), où \(g\) est une application continue de \(\mathbf{R}_+\) dans \(\mathbf{R}\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\bigl|g(t)\bigr|\,dt\) converge. Montrer que toute solution de \(E\) est bornée.

[planches/ex2825] tpe PC 2017 Soient \(I\) un intervalle symétrique par rapport à l’origine et \(\varphi\) une fonction réelle, paire, de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(I\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+\varphi y=0\). Montrer que si \(y\) est solution de \((E)\), alors \(y\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(I\). Montrer que \(x\longmapsto y(-x)\) est également solution.