Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2955] polytechnique MP 2008 Soit \(q\) une fonction réelle continue sur \(\mathbf{R}\) et ne prenant que des valeurs strictement négatives. On considère l’équation différentielle \(x''+q(t)x=0\).

1. Montrer que la seule solution bornée sur \(\mathbf{R}\) est la fonction nulle.

2. Montrer qu’une solution non nulle s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).

[planches/ex1020] mines PC 2014 Soient \(a\), \(b:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continues et \((E)\) l’équation différentielle \(y''+ay'+by=0\). Montrer que \((E)\) admet un système fondamental de solutions \((f,g)\) avec \(f\) paire et \(g\) impaire si et seulement si \(a\) est impaire et \(b\) est paire.

[oraux/ex3097] mines PC 2010 Soient \(a\), \(b\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \((f,g)\) un système fondamental de solutions de l’équation différentielle \((E)\) : \(y''+ay'+by=0\). On suppose \(f\) paire et \(g\) impaire. Montrer que \(a\) est impaire et \(b\) est paire.

[planches/ex2138] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation différentielle \(y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0\) admet-elle une base formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire ?

[planches/ex2825] tpe PC 2017 Soient \(I\) un intervalle symétrique par rapport à l’origine et \(\varphi\) une fonction réelle, paire, de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(I\). Soit \((E)\) l’équation différentielle \(y''+\varphi y=0\). Montrer que si \(y\) est solution de \((E)\), alors \(y\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(I\). Montrer que \(x\longmapsto y(-x)\) est également solution.