Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex4991] mines MP 2019 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues et 1-périodiques de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{C}\), \(E\) l’espace des solutions de \(y''+a(t)y'+b(t)y=0\). Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{C}^*\) et \(y\in E\setminus\{0\}\) tels que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(y(t+1)=\lambda y(t)\).

[planches/ex2138] mines MP 2017 Soient \(a\) et \(b\) deux fonctions continues de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\). À quelle condition l’équation différentielle \(y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0\) admet-elle une base formée d’une fonction paire et d’une fonction impaire ?

[oraux/ex3003] ens lyon MP 2009 Soient \(T>0\), \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) une fonction \(T\)-périodique, \(S\) l’espace des solutions réelles de \(y''+qy=0\) sur \(\mathbf{R}\), \(y_1\) (resp. \(y_2\)) l’élément de \(S\) tel que \(y_1(0)=0\), \(y_1'(0)=1\) (resp. \(y_2(0)=1\), \(y_2'(0)=0\)).

1. Montrer que si \(f\) est dans \(S\), il en est de même de \(f_T:x\mapsto f(x+T)\). On note \(\Phi\) l’endomorphisme de \(S\) que à \(f\in S\) associe \(f_T\) et \(A\) sa matrice dans la base \((y_1,y_2)\).

2. Calculer le déterminant de \(A\).

3. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A|<2\). Montrer que tout élément de \(S\) est borné sur \(\mathbf{R}\).

4. On suppose \(q\geqslant 0\) et \(q\) non identiquement nulle. Montrer que tout élément de \(S\) s’annule au moins deux fois sur \(\mathbf{R}\).

5. On suppose que \(q\) est positive et que \(\displaystyle{1\over T}\int_0^Tq<4\). Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont bornées sur \(\mathbf{R}\).

   Indication : on admettra que si \(f\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R})\) avec \(f(a)=f(b)=0\) alors \(\displaystyle\int_a^b\left|{f''\over f}\right|>\displaystyle{4\over b-a}\).

[planches/ex1083] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2016 Soit \(q:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et de période \(\pi\). On note \(E\) l’ensemble des solutions de : \(y''+qy=0\).

On note \(f:\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\rightarrow\mathscr{C}^2(\mathbf{R})\) l’application qui à \(\varphi\) associe \(x\mapsto\varphi(x+\pi)\).

1. Montrer que \(E\) est un espace vectoriel réel sont on précisera la dimension.

2. Montrer que \(f\) induit un endomorphisme de \(E\) noté \(\tilde f\).

3. Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(\tilde f)=1\).

4. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|<2\). Montrer que \(E\) est constitué de fonctions bornées.

5. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|>2\). Montrer que la fonction nulle est la seule fonction bornée de \(E\).

6. On suppose \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits\tilde f|=2\). Montrer que \(E\) contient une fonction bornée non nulle.

7. Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(\mathscr{C}^2\), nulle en \(a\) et \(b\) et strictement positive sur \(\left]a,b\right[\). On admet que, pour une telle fonction, \(\displaystyle\int_a^b{|\varphi''(t)|\over\varphi(t)}\,dt>{4\over b-a}\).

   Montrer que si \(q\) est positive, \(q\) n’est pas la fonction nulle et \(\displaystyle\int_0^\pi q(t)\,dt\leqslant{4\over\pi}\), alors \(E\) ne contient que des fonctions bornées.

[oraux/ex5642] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R})\) paire et \(\pi\)-périodique, \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).

1. 1. Montrer qu’il existe une unique solution \(y_1\) de \((E)\) telle que \(y_1(0)=1\) et \(y'_1(0)=0\) et une unique solution \(y_2\) de \((E)\) telle que \(y_2(0)=0\) et \(y'_2(0)=1\).

   2. Montrer que \((y_1,y_2)\) est une base de l’espace vectoriel \(S\) des solutions de \((E)\).

   3. Montrer que \(y_1\) est paire et \(y_2\) impaire.

   4. Montrer que la fonction \(y_1\,y'_2-y'_1\,y_2\) est constante.

2. Pour \(y\in S\), on note \(f(y)\,:\;t\mapsto y(t+\pi)\).

   1. Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(S\).

   2. Déterminer la matrice \(A\) de \(f\) dans la base \((y_1,y_2)\).

   3. Montrer que le polynôme caractéristique de \(A\) est de la forme \(X^2-2a\,X+1\), pour un certain réel \(a\).

3. On suppose \(a=1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(\pi\)-périodique non triviale.

4. On suppose \(a=-1\). Montrer que \((E)\) admet une solution \(2\pi\)-périodique non triviale.

5. On suppose \(|a|>1\). Montrer que \(f\) admet deux vecteurs propres linéairement indépendants. Montrer que ce sont des fonctions non bornées. En déduire les solutions bornées de \((E)\).