Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3343] centrale M 1993 On considère l’équation différentielle \((E)\) : \[y''+y'+p(x)y=0.\] Trouver \(p(x)\) pour que \((E)\) admette deux solutions \(y_1\), \(\mu y_2\) non identiquement nulles et telles que \(y_2=y_1^2\). Résoudre alors \((E)\).

[oraux/ex3138] ens PC 2011 Soit \(\varphi\) une solution non identiquement nulle de \(y''=xy\).

1. Montrer que \(\varphi\) possède au plus un zéro sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Montrer que \(\varphi\) possède une infinité de zéros sur \(\mathbf{R}_-\).

[oraux/ex2784] mines 2003 Soit \(\lambda>0\). On considère l’équation différentielle : \[(E)\qquad y''=-y+\lambda y'(1-y^2).\] On note \(\varphi:I\rightarrow\mathbf{R}\) une solution maximale de \((E)\). On pose \(g=\varphi^2+(\varphi')^2\).

1. Montrer que \(g'\leqslant 2\lambda g\).

   Soit \(a\in I\).

2. Soit \(x\in\left[a,+\infty\right[\cap I\). Montrer que \(g(x)\leqslant g(a)e^{2\lambda(x-a)}\).

3. Montrer que \(I\supset\left[a,+\infty\right[\).

[oraux/ex3136] ens PC 2011 Soit \(g\in\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\). On suppose qu’il existe \((\alpha,\beta)\in(\mathbf{R}_+^*)^2\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(|g(x)|\leqslant\alpha e^{-\beta x}\). Montrer que l’équation différentielle \(u''-(1+g)u=0\) possède une solution non nulle ayant pour limite 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer une suite de fonctions \((u_n)_{n\geqslant 0}\) telle que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(u_{n+1}''-u_{n+1}=gu_n\).

[planches/ex1005] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(f\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R},\mathbf{R})\), \(g\in\mathscr{C}^1(\mathbf{R},\mathbf{R}_+)\) telles que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+f(x)=-xg(x)f'(x)\). Montrer que \(f\) est bornée.