Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).

[planches/ex7887] polytechnique, espci PC 2022 Déterminer les réels \(\lambda\) pour lesquels il existe \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{R}\) deux fois dérivable telle que \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(f''(x)+(\lambda-x^2)f(x)=0\), \(f(0)=0\), et \(f\) tende vers 0 en \(+\infty\).

Indication : Considérer \(g:x\longmapsto f(x)e^{x^2/2}\).

[planches/ex9979] mines MP 2023

1. Soient \(A\in\mathbf{R}^+\), \(f\), \(g:\mathbf{R}^+\rightarrow\mathbf{R}^+\) continues. On suppose que : \[\forall x\geqslant 0,\quad f(x)\leqslant A+\int_0^xf(t)\,g(t)\,\mathrm{d}t.\] Montrer que \(\forall x\geqslant 0\), \(f(x)\leqslant A\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\displaystyle\int_0^xg(t)\,\mathrm{d}t\right)\).

   Soit \((*)\) l’équation différentielle \(x''(t)+a(t)x(t)=b(t)\) avec \(a\) et \(b\) continues sur \(\mathbf{R}^+\), \(b\) et \(t\mapsto t\,a(t)\) intégrables sur \(\mathbf{R}^+\). Soit \(x\) solution de \((*)\).

2. Montrer que : \[\forall t\geqslant 1,\quad x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)\,\mathrm{d}u+\int_1^t(t-u)\,b(u)\,\mathrm{d}u.\]

3. On pose, pour \(t\geqslant 1\), \(y(t)=\displaystyle\frac{|x(t)|}{t}\). Montrer l’existence de \(K\) tel que : \[\forall t\geqslant 1,\quad y(t)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^tu\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right)\leqslant K\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(\int_1^{+\infty}u\,|a(u)|\,\mathrm{d}u\right).\]

[concours/ex5308] ens paris MP 2007

1. Soit \(x\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R})\) convexe, minorée et décroissante. Étudier la limite de \(t\mapsto tx'(t)\) lorsque \(t\rightarrow+\infty\).

2. Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) et \(x\in\mathscr{C}^2(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+^*)\) décroissante telles que \(x''=qx\). Montrer : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}x=0\Leftrightarrow\displaystyle\int_0^{+\infty}tq(t)\,dt=+\infty\).

[concours/ex6304] ens cachan MP 2006

1. Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+\) continue. On suppose que pour un certain \(c\geqslant 0\), pour tout \(t\geqslant 0\), \(tf(t)\leqslant c+\displaystyle\int_0^tf(u)\,du\). Montrer que \(f\) est bornée.

2. Soit \(g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}\) de classe \(C^2\), solution de \(y''+ty=0\). Montrer que \(g\) est bornée.