Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2502] centrale MP 2017 Soit \(q:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\). On considère l’équation différentielle \((\mathscr{E})\) : \(y''(x)=q(x)y(x)\).

Pour tout \(\alpha\in\mathbf{R}\), on note \(y_\alpha\) l’unique solution de \((\mathscr{E})\) vérifiant \(y_\alpha(0)=1\) et \(y_\alpha'(0)=\alpha\).

1. Montrer que \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_0(x)y_0'(x)>0\). Montrer que \(y_0\) est strictement croissante.

2. Montrer que \(\forall\alpha\in\mathbf{R}\), \(\forall x\in\left]0,+\infty\right[\), \(y_\alpha(x)=y_0(x)\left(\displaystyle\int_0^x{\alpha\over y_0^2(t)}\,dt\right)\).

3. Montrer qu’il existe \(\alpha_1<0\) tel que l’on ait, pour \(\alpha\in\mathbf{R}\), l’équivalence entre « \(y_\alpha\) s’annule sur \(\mathbf{R}_+\) » et « \(\alpha<\alpha_1\) ». Calculer \(\alpha_1\).

[concours/ex4044] polytechnique pox P 1990 Soit \(f(x)=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x}\).

1. Trouver une équation différentielle linéaire, d’ordre \(2\), à coefficients polynomiaux, satisfaite par \(f\).

2. Résoudre cette équation.

[examen/ex2791] ens paris MP 2025 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(\psi\in\mathscr{C}^2([a,b],\mathbf{R}^{+*})\) croissante. Soit \(y\in\mathscr{C}^2([a,b], \mathbf{R})\) non nulle et vérifiant \(y''+\psi(x)y=0\). Montrer que les points où \(|y|\) admet un extremum local forment une suite finie \((a_1,\ldots,a_n)\) (éventuellement vide) et que la suite des valeurs \((|y(a_1)|,\ldots,|y(a_n)|)\) est décroissante.

[oraux/ex5092] polytechnique MP 2012 Soient \(E={\cal C}^2([0,1],\mathbf{R})\) et \(Q:u\in E\mapsto\displaystyle\int_0^1 e^x\left( u(x)^2+u'(x)^2\right)\,dx\).

1. Soient \(u,v\in E\) et \(\Phi_{u,v}:t\in\mathbf{R}\mapsto Q(u+tv)\). À quelle condition \(\Phi_{u,v}\) admet-elle un minimum en \(t_0\) ?

2. On fixe \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}\) et on note \(L=\left\{ u\in E,\; u(0)=a\mbox{ et }u(1)=b\right\}\). La restriction de \(Q\) à \(L\) présente-t-elle un minimum ? Si oui, est-il unique ?

[oraux/ex3146] polytechnique, ens cachan PSI 2011

1. Donner un exemple de fonction continue, non identiquement nulle au voisinage de 0 et telle que 0 n’est pas un zéro isolé.

2. Soient \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable et \(a\in\mathbf{R}\). On suppose que \(f(a)=0\) et que \(a\) n’est pas un zéro isolé de \(f\). Montrer que \(f'(a)=0\).

3. Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) avec \(a<b\), \(f:[a,b]\rightarrow\mathbf{R}\) dérivable telle que \(f(a)=f(b)=0\) et \(\forall x\in\left]a,b\right[\), \(f(x)\geqslant 0\). Montrer : \(f'(a)f'(b)\leqslant 0\).

   Soient \(I\) un intervalle de \(\mathbf{R}\), \(p\) et \(q\) dans \(\mathscr{C}^0(I,\mathbf{R})\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+py'+qy=0\).

4. Soit \(f\) une solution non identiquement nulle de \((E)\). Montrer que les zéros de \(f\) sont isolés.

5. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions de \((E)\) et \(t_0\in I\). On suppose qu’il existe \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(f(t_0)=cg(t_0)\) et \(f'(t_0)=cg'(t_0)\). Montrer : \(f=cg\).

6. Soient \(f\) et \(g\) deux solutions indépendantes de \((E)\). Montrer que le wronskien \(W\) de \(f\) et de \(g\) ne s’annule pas. Exprimer \(W(t)\) en fonction de \(W(t_0)\). Montrer que, entre deux zéros consécutifs de \(f\), la fonction \(g\) s’annule.