Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3051] centrale MP 2009 (avec Maple)

Soient \((E)\) : \((1-x)^3y''=y\) et \(y\) l’unique solution de \((E)\) définie sur \(I=\left]-\infty,1\right[\) vérifiant \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\).

1. Justifier l’existence de \(y\) ; tracer le graphe de \(y\) à l’aide de la fonction odeplot du package plots.

2. On pose \(a_n=y^{(n)}(0)/n\,!\). Établir que \((a_n)\) vérifie une relation de récurrence liant \(a_n\), \(a_{n-1}\), \(a_{n-1}\) et \(a_{n-3}\).

3. calculer \(a_n\) pour \(n\in\{0,\ldots,10\}\).

4. Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall n\in\mathbf{N}\), \(|a_n|\leqslant\alpha^n\). Qu’en déduire sur \(y\) ?

5. Montrer que \(y\) est positive sur \(\left[0,1\right[\).

6. En déduire que \(y(x)\geqslant x+\displaystyle\int_0^x{x-t\over(1-t)^2}\,dt\).

7. Calculer cette intégrale avec Maple. Qu’en déduire sur le comportement de \(y\) ?

[oraux/ex4961] ens PC 2012 Soient \(a,b,c,d\) dans \({\cal C}^2(\mathbf{R}^+,\mathbf{R})\). On suppose : \(a>0\), \(c<0\) et \(d>0\). Soit \((E)\) l’équation différentielle : \(ay''+by'+cy=d\), \(y(0)=0\).

1. Si \(y'(0)=0\), montrer que : \(\forall t\in\mathbf{R}^{+*}\), \(y(t)>0\).

2. On suppose qu’il existe \(t_1>0\) tel que \(y(t_1)>0\). Montrer : \(\forall t\geqslant t_1\), \(y(t)\geqslant 0\).

[concours/ex4044] polytechnique pox P 1990 Soit \(f(x)=\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits x\over x}\).

1. Trouver une équation différentielle linéaire, d’ordre \(2\), à coefficients polynomiaux, satisfaite par \(f\).

2. Résoudre cette équation.

[oraux/ex3140] polytechnique MP 2011 Soient \(q\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}_-^*)\), \((E)\) l’équation différentielle \(y''+q(t)y=0\) et \((\varphi,\psi)\) le couple formé des solutions de \((E)\) sur \(\mathbf{R}\) vérifiant \((\varphi(0)=1,\ \varphi'(0)=0)\) et \((\psi(0)=0,\ \psi'(0)=1)\). Montrer que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+\), \(\varphi(x)\geqslant 1\) et \(\psi(x)\geqslant x\).

[oraux/ex3113] centrale PSI 2010 Soit \(u\in\mathscr{C}^2([0,1],\mathbf{R})\) telle que : \(u''(x)+e^xu'(x)=-1\), \(u(0)=u(1)=0\).

1. Montrer que \(u\) n’admet pas de minimum local sur \(\left]0,1\right[\).

2. Montrer que \(u'(0)>0\) et \(u'(1)<0\).

3. Montrer que \(u\) existe et est unique. Exprimer \(u\) à l’aide d’intégrales.