Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex3071] tpe PC 2009 Résoudre : \(x^2y''+axy'+by=0\).

[oraux/ex2913] ccp PC 2005 Soient \((a,b,c)\in\mathbf{R}^3\) et \((1)\) l’équation différentielle : \(ax^2y''(x)+bxy'(x)+cy(x)=0\), dont on considérera les solutions sur \(\left]0,+\infty\right[\).

1. Justifier le changement de variable \(t=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\) et résoudre \((1)\).

2. Résoudre sur \(\mathbf{R}_+^*\) suivant les valeurs de \(a\) : \(x^2y''(x)+xy'(x)+y(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)\).

[concours/ex1319] mines MP 1998 Soit \(I\) un intervalle non vide de \(\mathbf{R}\), et \(p\in\mathscr{C}(I,\mathbf{C})\). Soit \(u\) une solution de \(y''+py=0\).

1. On suppose que, pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits p(t)\leqslant 0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

2. On suppose que pour tout \(t\in I\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits p(t)\neq0\). Montrer que si \(u\) s’annule deux fois sur \(I\), alors \(u=0\).

[oraux/ex2955] polytechnique MP 2008 Soit \(q\) une fonction réelle continue sur \(\mathbf{R}\) et ne prenant que des valeurs strictement négatives. On considère l’équation différentielle \(x''+q(t)x=0\).

1. Montrer que la seule solution bornée sur \(\mathbf{R}\) est la fonction nulle.

2. Montrer qu’une solution non nulle s’annule au plus une fois sur \(\mathbf{R}\).

[oraux/ex5641] centrale MP 2012 Soient \(q\in{\cal C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}^-)\) non identiquement nulle, \((a,b)\in (\mathbf{R}^{+*})^2\) et \((E)\) l’équation différentielle : \(y''+q\,y=0\).

1. Justifier l’existence d’une unique solution \(y_0\) de \((E)\) vérifiant \(y_0(0)=a\) et \(y'_0(0)=0\).

2. Résoudre l’équation différentielle \(Y''-b^2\,Y=0\) avec \(Y(0)=a\) et \(Y'(0)=0\).

3. Montrer que \(y_0^2\) est convexe.

4. La fonction \(y_0\) admet-elle deux zéros distincts ? Est-elle bornée ?

5. Montrer que \(y_0\) est minorée par \(a\) et convexe.

6. On suppose \(q\leqslant-b^2\). Montrer que \(y_0\geqslant Y\).